Espira girada dentro de un campo magnético

Enunciado

Una espira cuadrada ABCD de lado 10 cm se encuentra en el interior de un campo magnético uniforme ${\vec {B}}=10{\vec {k}}$ (mT). Los vértices de la espira se encuentran en

${\vec {r}}_{A}=3{\vec {\imath }}-5{\vec {\jmath }}-4{\vec {k}}\qquad {\vec {r}}_{B}=3{\vec {\imath }}+5{\vec {\jmath }}-4{\vec {k}}\qquad {\vec {r}}_{C}=-3{\vec {\imath }}+5{\vec {\jmath }}+4{\vec {k}}\qquad {\vec {r}}_{D}=-3{\vec {\imath }}-5{\vec {\jmath }}+4{\vec {k}}$

(distancias medidas en cm). Por la espira circula una corriente de 0.2 A en el sentido ABCD.

1. Halle la fuerza magnética sobre cada lado de la espira, así como la fuerza total sobre la espira
2. Considerando cada fuerza aplicada sobre el centro del lado correspondiente, halle el momento resultante, según la ley

${\vec {M}}_{O}=\sum _{i}{\vec {r}}_{i}\times {\vec {F}}_{i}$

3. Calcule el momento magnético de la espira y compruebe que

${\vec {M}}_{O}={\vec {m}}\times {\vec {B}}\qquad \qquad ({\vec {m}}=IS{\vec {n}})$

Fuerzas

La fuerza sobre un segmento rectilíneo por el cual circula una intensidad de corriente I, inmerso en un campo magnético uniforme vale

${\vec {F}}_{AB}=I(\Delta {\vec {r}})\times {\vec {B}}\qquad \qquad \Delta {\vec {r}}={\overrightarrow {AB}}={\vec {r}}_{B}-{\vec {r}}_{A}$

que aplicado a cada caso nos da

Lado AB

${\vec {F}}_{AB}=(0.2\,\mathrm {A} )\left((3{\vec {\imath }}+5{\vec {\jmath }}-4{\vec {k}})-(3{\vec {\imath }}-5{\vec {\jmath }}-4{\vec {k}})\right)\mathrm {cm} \times (10{\vec {k}})\,\mathrm {mT} =(0.2)(0.1{\vec {\jmath }})\times (0.01{\vec {k}})=0.20\,{\vec {\imath }}\,\mathrm {mN}$

Lado BC

${\vec {F}}_{BC}=(0.2\,\mathrm {A} )\left((-3{\vec {\imath }}+5{\vec {\jmath }}+4{\vec {k}})-(3{\vec {\imath }}+5{\vec {\jmath }}-4{\vec {k}})\right)\mathrm {cm} \times (10{\vec {k}})\,\mathrm {mT} =(0.2)(-0.06{\vec {\imath }}+0.08{\vec {k}})\times (0.01{\vec {k}})=0.12\,{\vec {\jmath }}\,\mathrm {mN}$

Lado CD

${\vec {F}}_{CD}=-0.20\,{\vec {\imath }}\,\mathrm {mN}$

Lado DA

${\vec {F}}_{DA}=-0.12\,{\vec {\jmath }}\,\mathrm {mN}$

Siendo la fuerza total sobre la espira

${\vec {F}}={\vec {F}}_{AB}+{\vec {F}}_{BC}+{\vec {F}}_{CD}+{\vec {F}}_{DA}={\vec {0}}$ Archivo:Fuerza-espira.png

Par

El que la resultante de las fuerzas se anula no quiere decir que el campo magnético no ejerza fuerza alguna sobre la espira. Solo implica que su centro de masas no se acelera.

Al estar las fuerzas aplicadas sobre a lo largo de rectas paralelas, lo que sí se produce es un par de fuerzas. La fuerza sobre el lado superior de la espira y la fuerza sobre el lado inferior tienden a producir un giro de ésta alrededor del eje OX.

Para medir este efecto calculamos la resultante del momento de las fuerzas aplicadas

${\vec {M}}_{O}=\sum _{i}{\vec {r}}_{i}\times {\vec {F}}_{i}$

siendo el punto de aplicación de cada una el punto medio de cada lado. Calculamos este momento respecto al origen de coordenadas (que está en el centro de la espira), pero lo mismo resultaría si usáramos cualquier otro punto, por ser nula la fuerza resultante.

Así tenemos

Lado AB

${\vec {r}}_{AB}={\frac {{\vec {r}}_{A}+{\vec {r}}_{B}}{2}}=(3{\vec {\imath }}-4{\vec {k}})\,\mathrm {cm}$    ${\vec {r}}_{AB}\times {\vec {F}}_{AB}=(0.03{\vec {\imath }}-0.04{\vec {k}})\times (2\times ^{-4}{\vec {\imath }})\mathrm {N\cdot m} =-8{\vec {\jmath }}\,\mu \mathrm {N} \cdot \mathrm {m}$

Lado BC

${\vec {r}}_{BC}={\frac {{\vec {r}}_{B}+{\vec {r}}_{C}}{2}}=(5{\vec {\jmath }})\,\mathrm {cm}$    ${\vec {r}}_{BC}\times {\vec {F}}_{BC}=(0.05{\vec {\jmath }})\times (1.2\times 10^{-4})\mathrm {N\cdot m} ={\vec {0}}$

Lado CD

${\vec {r}}_{CD}\times {\vec {F}}_{AB}=(-0.03{\vec {\imath }}+0.04{\vec {k}})\times (-2\times ^{-4}{\vec {\imath }})\mathrm {N\cdot m} =-8{\vec {\jmath }}\,\mu \mathrm {N} \cdot \mathrm {m}$

Lado DA

${\vec {r}}_{DA}\times {\vec {F}}_{DA}=(-0.05{\vec {\jmath }})\times (-1.2\times 10^{-4})\mathrm {N\cdot m} ={\vec {0}}$

Sumando las cuatro contribuciones queda

${\vec {M}}_{O}=-16{\vec {\jmath }}\,\mu \mathrm {N} \cdot \mathrm {m}$

Este momento va en en el sentido negativo del eje OY, lo que quiere decir que la espira tiende a girar en torno a este eje en sentido horario (−).

El módulo del momento se puede calcular de forma mucho más sencilla como

$|{\vec {M}}_{O}|=|{\vec {F}}|d$

siendo $|{\vec {F}}|$ la intensidad de una de las fuerzas que forma el par (en este caso, son las aplicadas sobre las barras superior e inferior) y $d$ es la distancia entre sus rectas de aplicación (en este caso 8cm). Por tanto

$|{\vec {M}}_{O}|=(2\times 10^{-4}\mathrm {N} )(0.08\,\mathrm {m} )=16\,\mu \mathrm {N} \cdot \mathrm {m}$

Momento magnético

El momento de las fuerzas se puede hallar también a partir del momento magnético de la espira. Este se define, para una espira plana, como

${\vec {m}}=IS{\vec {n}}=I{\vec {S}}$

Por tratarse de un paralelogramo, podemos hallar su vector superficie mediante un producto vectorial

${\vec {S}}={\overrightarrow {AB}}\times {\overrightarrow {AD}}=({\vec {r}}_{B}-{\vec {r}}_{A})\times ({\vec {r}}_{D}-{\vec {r}}_{A})=(10{\vec {\jmath }})\times (-6{\vec {\imath }}+8{\vec {k}})\mathrm {cm} ^{2}=(80{\vec {\imath }}+60{\vec {k}})\mathrm {cm} ^{2}$

siendo el momento magnético

${\vec {m}}=I{\vec {S}}=(16{\vec {\imath }}+12{\vec {k}})\mathrm {A} \cdot \mathrm {cm} ^{2}$

A partir de aquí hallamos el momento de las fuerzas como

${\vec {M}}_{O}={\vec {m}}\times {\vec {B}}=\left((16{\vec {\imath }}+12{\vec {k}})\times 10^{-4}\mathrm {A} \cdot \mathrm {m} ^{2}\right)\times (0.01{\vec {k}})\mathrm {T} =-16{\vec {\jmath }}\,\mu \mathrm {N} \cdot \mathrm {m}$

que coincide con el calculado anteriormente a partir de las fuerzas individuales.