Ver el código de «Partícula en el campo gravitatorio terrestre (GIA)»

== Enunciado ==
Una partícula de masa <math>m</math> se mueve en el seno del campo gravitatorio terrestre cerca de la superficie, de modo que la aceleración de la gravedad puede suponerse constante y dirigida verticalmente a la superficie (<math>\vec{g}=-g\,\vec{k}</math>). Analiza el movimiento de la partícula para las siguientes condiciones iniciales
#<math>\vec{r}(0)=\vec{0}</math>, <math>\vec{v}(0)=v_0\,\vec{k}</math>.
#<math>\vec{r}(0)=h\,\vec{k}</math>, <math>\vec{v}(0)=v_0\,\vec{\imath}</math>.
#<math>\vec{r}(0)=\vec{0}</math>, <math>\vec{v}(0)=\vec{v}_0=v_0\cos\alpha\,\vec{\imath} + v_0\,\mathrm{sen}\,\alpha\,\vec{k}</math>.

== Solución ==
El campo gravitatorio ejerce una fuerza <math>\vec{F}=m\,\vec{g}</math> sobre una partícula de masa <math>m</math>. 
Según la Segunda Ley de Newton la aceleración de la partícula es
<center><math>
  \vec{a} = \dfrac{1}{m}\vec{F} = \dfrac{1}{m}m\,\vec{g} = \vec{g}
</math></center>
El enunciado nos da un sistema de ejes en el que la aceleración de la gravedad está
dirigida en el sentido negativo del eje <math>OZ</math>,  esto es
<center><math>
  \vec{g} = -g\,\vec{k}
</math></center>
La velocidad de la partícula se calcula como la integral del vector aceleración en el
tiempo. Si la velocidad inicial es <math>\vec{v}(0)</math> tenemos
<center><math>
  \int\limits_{\vec{v}(0)}^{\vec{v}(t)}\mathrm{d}\vec{v} = \int\limits_0^t\vec{a}\,\mathrm{d} t
  \Longrightarrow
    \vec{v}(t) = \vec{v}(0) - \int\limits_0^t g\,\vec{k}\,\mathrm{d} t
</math></center>
Teniendo en cuenta que <math>g</math> y <math>\vec{k}</math> son constantes podemos hacer la integral para obtener
<center><math>
  \vec{v}(t) = \vec{v}(0) - g\,t\,\vec{k}
</math></center>
La posición se determina de modo similar integrando la velocidad
<center><math>
  \int\limits_{\vec{r}(0)}^{\vec{r}(t)}\mathrm{d}\vec{r} = \int\limits_0^t \vec{v} \,\mathrm{d} t
  \Longrightarrow
  \vec{r}(t) = \vec{r}(0) + \int\limits_0^t\left(\vec{v}(0) - g\,t\,\vec{k} \right)\,\mathrm{d} t
</math></center>
Como <math>\vec{v}(0)</math>,  <math>g</math> y <math>\vec{k}</math> son constantes obtenemos
<center><math>
  \vec{r}(t) = \vec{r}(0) + \vec{v}(0)\,t - \dfrac{1}{2}g\,t^2\,\vec{k}
</math></center>
Las expresiones para el vector de posición y de velocidad describen el movimiento de una partícula en el seno del
campo gravitatorio. El movimiento concreto depende del valor de estas condiciones
iniciales. Vamos a ver los tres casos descritos en el enunciado

===Caso 1===

[[Imagen:F1_GIA_p04_02_a.png|right]]
[[Imagen:F1_GIA_p04_02_b.png|right]]
Sustituyendo las condiciones iniciales tenemos

<center><math>
  \left.
  \begin{array}{l}
    \vec{v}(t) = (v_0 - g\,t) \, \vec{k} \\ \\
    \vec{r}(t) = \left(v_0t-\dfrac{1}{2}g\,t^2\right)\,\vec{k}
  \end{array}
  \right.
</math></center>
Tanto la velocidad como el vector de posición son paralelos al eje <math>OZ</math> en todo instante
de tiempo. En <math>t=0</math> la velocidad es positiva (suponiendo <math>v_0>0</math>)  por lo que la partícula
sube verticalmente. AL avanzar el tiempo el término <math>gt\,</math> crece, hasta que iguala a <math>v_0</math>
y lo sobrepasa. En ese instante la velocidad es negativa y la partícula se desplaza hacia
abajo. La trayectoria es una línea recta. Este caso corresponde al '''tiro vertical'''.

El instante para el que la altura es máxima corresponde al momento en que la velocidad se
hace cero
<center><math>
  v(t_{max}) = 0 \Longrightarrow t_{max} = v_0/g
</math></center>
La altura máxima que alcanza la partícula se obtiene sustituyendo <math>t_{max}</math> en la
expresión que da el vector de posición
<center><math>
  \vec{r}(t_{max}) = \dfrac{v_0^2}{2g}\,\vec{k}
</math></center>
La figura muestra la orientación de la velocidad y el vector de posición antes y después
de que la partícula alcance su máxima altura. A la derecha están representados la
evolución en el tiempo de  la velocidad y la altura para el caso <math>v_0=1\,\mathbf{m/s}</math>.  El
máximo de la altura corresponde al cero de la velocidad, como debe ser pues la velocidad
es la derivada de la altura. Mientras que la velocidad es positiva la altura crece, y
cuando se hace negativa decrece.

===Caso 2===
[[Imagen:F1_GIA_p04_02_c.png|right|250px]]
[[Imagen:F1_GIA_p04_02_d.png|right]]

Aplicando las condiciones iniciales tenemos
<center><math>
  \left.
  \begin{array}{l}
    \vec{v}(t) = v_0\,\vec{\imath} - g\,t \, \vec{k} \\ \\
    \vec{r}(t) = v_0t\,\vec{\imath} + \left(h-\dfrac{1}{2}g\,t^2\right)\,kb
  \end{array}
  \right.
</math></center>
En <math>t=0</math> la velocidad de la partícula es horizontal. Según avanza el tiempo, la
aceleración hace que aparezca una componente vertical hacia abajo. Esta situación
corresponde al '''tiro horizontal'''. El desplazamiento de la partícula tiene una
componente horizontal de movimiento con velocidad uniforme <math>v_0</math> y otra vertical con
movimiento uniformemente acelerado.

La figura muestra a la izquierda la trayectoria de la partícula y a la derecha la
evolución de las componentes de la velocidad y la aceleración. La componente horizontal
<math>v_x</math> es constante en el tiempo, mientras que el valor absoluto de la componente vertical
<math>v_z(t)</math> crece linealmente con el tiempo. Por lo que respecta a las componentes
espaciales, la horizontal crece linealmente y la vertical decrece con el cuadrado del
tiempo.

===Caso 3===

Sustituyendo las condiciones iniciales tenemos
<center><math>
  \left.
  \begin{array}{l}
    \vec{v}(t) = v_0\cos\alpha\,\vec{\imath} +(v_0\,\mathrm{sen}\,\alpha - g\,t) \, \vec{k} \\ \\
    \vec{r}(t) = t\,v_0\cos\alpha\,\vec{\imath} + \left(t\,v_0\,\mathrm{sen}\,\alpha -\dfrac{1}{2}g\,t^2\right)\,kb
  \end{array}
  \right.
</math></center>
En <math>t=0</math> la velocidad forma un ángulo <math>\alpha</math> con la horizontal. La componente horizontal
no cambia en el tiempo. La vertical es primero positiva, hasta que el término gravitatorio
la anula y después la hace negativa. El movimiento corresponde a un '''tiro oblicuo'''.

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