Ver el código de «Cuerda sobre disco de radio variable»

== Enunciado ==
[[Imagen:Circunferencia_radio_variable_enunciado.png|right]]
Un punto material <math>P</math> pende verticalmente del extremo de un hilo inextensible y permanentemente tenso. Este se apoya y desliza sobre una circunferencia de radio variable con el tiempo <math>R(t) = R_0\,\mathrm{sen}\,(\omega t)</math> en el intervalo <math>0\leq t\leq\pi/2\omega</math> (<math>R_0</math> y <math>\omega</math> son constantes conocidas), y centrada en el origen <math>O</math> de un sistema de referencia cartesiano <math>OXY</math> . La longitud total del hilo es <math>l = \pi R_0 /2</math>, y su otro extremo se halla fijo en un punto <math>A</math>, tal que <math>\overrightarrow{OA} = R_0 \,\vec{\jmath}</math> (ver figura). Determina: 
#Las ecuaciones horarias cartesianas del punto <math>P</math> , y su posición final en el instante final <math>t_f = \pi/2\omega</math>.
#Los vectores velocidad y aceleración de dicho punto en todo instante de tiempo.
#La aceleración normal de <math>P</math> y el radio de curvatura de su trayectoria en todo instante de tiempo, así como la posición del centro de curvatura de la trayectoria en el instante inicial.

== Solución ==

=== Ecuaciones horarias del punto P===
[[Imagen:Circunferencia_radio_variable_angulos.png|right]]
Nuestro primer objetivo es encontrar el vector de posición del punto <math>P </math>. Podemos construir ese vector de la siguiente manera
<center>
<math>
\vec{r}_P = \overrightarrow{OP} =
\overrightarrow{OC} + \overrightarrow{CP}
</math>
</center>

Para el vector <math>\overrightarrow{OC} </math> tenemos
<center>
<math>
\overrightarrow{OC} = R(t)\,\vec{\imath} = R_0\,\mathrm{sen}\,(\omega t)\,\vec{\imath}
</math>
</center>
Para el vector <math>\overrightarrow{CP} </math> tenemos
<center>
<math>
\overrightarrow{CP} = -|\overrightarrow{CP}|\,\vec{\jmath}
</math>
</center>
El módulo <math>|\overrightarrow{CP}| </math> es la longitud de la cuerda menos la longitud del segmento <math>\overline{AB} </math> y del arco <math>\stackrel\frown {BC} </math>. 
Los puntos <math>A </math>, <math>B </math> y <math>C </math> están indicados en la figura. 

En la figura vemos los ángulos <math>\theta</math> y <math>\alpha </math>, con
<center>
<math>
\alpha = \dfrac{\pi}{2}-\theta
</math>
</center>
Del triángulo rectángulo <math>OBA </math> tenemos
<center>
<math>
\cos{\alpha} = \dfrac{R(t)}{R_0} = \mathrm{sen}\,(\omega t)
</math>
</center>
Por otro lado
<center>
<math>
\cos{\alpha} = \cos\left(\dfrac{\pi}{2}-\theta\right) = \mathrm{sen}\,\theta
</math>
</center>
Igualando las dos expresiones obtenemos 
<center>
<math>
\theta = \omega t
</math>
</center>
La longitud del segmento <math>\overline{AB} </math> es
<center>
<math>
\overline{AB} = R_0\,\mathrm{sen}\,\alpha = R_0\cos\theta = R_0\cos(\omega t)
</math>
</center>
Mientras que la longitud del arco es
<center>
<math>
\stackrel\frown{BC} = \theta\,R(t)  = R_0\,\omega t\,\mathrm{sen}\,(\omega t)
</math>
</center>
Por tanto, el módulo <math>|\overrightarrow{CP}| </math> es
<center>
<math>
|\overrightarrow{CP}| = l - R_0\cos(\omega t)
- R_0\,\omega t\,\mathrm{sen}\,(\omega t)
=
R_0\,\left(\dfrac{\pi}{2} - \cos(\omega t) - \omega t\,\mathrm{sen}\,(\omega t)\right)
</math>
</center>
Y el vector de posición de la partícula es
<center>
<math>
\overrightarrow{OP}(t) = R_0\,\mathrm{sen}\,(\omega t)\,\vec{\imath}
-R_0\,\left(\dfrac{\pi}{2} - \cos(\omega t) - \omega t\,\mathrm{sen}\,(\omega t)\right)
\,\vec{\jmath}
</math>
</center>
En el instante <math>t_f=\pi/2\omega </math> el valor de este vector es
<center>
<math>
\overrightarrow{OP}(t_f) = R_0\,\vec{\imath}
</math>
</center>

=== Velocidad y aceleración===
La velocidad es la derivada respecto del tiempo del vector de posición
<center>
<math>
\vec{v}_P = \dot{\overrightarrow{OP}} = 
R_0\,\omega\cos(\omega t)\,\vec{\imath} + R_0\omega^2 t\cos(\omega t)\,\vec{\jmath}
</math>
</center>
La aceleración es la derivada respecto del tiempo del vector velocidad
<center>
<math>
\vec{a}_P = \dot{\vec{v}} = 
-R_0\omega^2\,\mathrm{sen}\,(\omega t)\,\vec{\imath} +
R_0w^2\,(\cos(\omega t) - \omega t\,\mathrm{sen}\,(\omega t))\,\vec{\jmath}
</math>
</center>

=== Radio de curvatura===
El radio de curvatura en cada punto de la trayectoria es
<center>
<math>
R_{\kappa} = \dfrac{|\vec{v}|^2}{a_N}
</math>
</center>
Como tenemos el vector velocidad expresado en una base cartesiana, podemos calcular su módulo
<center>
<math>
|\vec{v}(t)| = R_0\omega\sqrt{1+\omega^2t^2}\cos(\omega t)
</math>
</center>
La aceleración normal es
<center>
<math>
a_N = \dfrac{|\vec{v}\times\vec{a}|}{|\vec{v}|} 
=
\dfrac{R_0\omega^2\cos(\omega t)}{\sqrt{1+\omega^2t^2}}
</math>
</center>
Con lo que el radio de curvatura es
<center>
<math>
R_{\kappa}(t) = R_0\,\left(1+w^2t^2\right)^{3/2}\cos(\omega t)
</math>
</center>
La posición del centro de curvatura en cada instante es
<center>
<math>
\vec{r}_{\kappa}(t) = \overrightarrow{OP} + R_{\kappa}\vec{N}
</math>
</center>
Nos lo piden sólo en el instante inicial, así que sólo tenemos que calcular el vector normal en el instante inicial. El vector normal es
<center>
<math>
\vec{N} = \dfrac{\vec{a}-a_T\vec{T}}{a_N}
</math>
</center>
En el instante inicial tenemos
<center>
<math>
\begin{array}{l}
\overrightarrow{OP}(0) = -R_0\,\left(\dfrac{\pi}{2}-1\right)\,\vec{\jmath}\\
\\
\vec{v}_P(0) = R_0\omega\,\vec{\imath}\\
\\
\vec{a}_P(0) = R_0\omega^2\,\vec{\jmath}\\
\\
a_N(0) = R_0\omega^2\\
\\
R_{\kappa}(0) = R_0
\end{array}
</math>
</center>
En ese instante el vector tangente es
<center>
<math>
\vec{T}(0) = \vec{\imath}
</math>
</center>
La aceleración tangencial es
<center>
<math>
a_T(0) = \vec{a}(0)\cdot\vec{T}(0) = 0
</math>
</center>
Por tanto el vector normal es
<center>
<math>
\vec{N}(0) = \dfrac{\vec{a}}{a_N} = \vec{\jmath}
</math>
</center>
El vector de posición del centro de curvatura en ese instante inicial es
<center>
<math>
\vec{r}_{O_{\kappa}}(0) = \dfrac{4-\pi}{2}\,R_0\,\vec{\jmath}
</math>
</center>
Este punto está sobre el eje <math>OY </math>, un poquito por encima del origen.