Ver el código de «Hélice de un avión que gira (G.I.A.)»

== Enunciado ==
[[Imagen:F1_GIA_avion_girando_enunciado.png|right]]
El avión (sólido "0") de la figura se mueve de modo que el centro <math>C</math> de su hélice describe una circunferencia de radio <math>L</math>.  La velocidad angular de este giro es uniforme y su módulo es <math>|\vec{\omega}_{01}|=\Omega</math>.  Además, la hélice (sólido "2"), cuyo radio es <math>R</math>,   gira en torno a un eje perpendicular a ella y que pasa por su centro, con velocidad también uniforme y de módulo <math>|\vec{\omega}_{20}|=\omega</math>.  Se pide
#La reducción cinemática de los movimientos {01} y {20}.
#Aplicando la composición de velocidades, la velocidad <math>\vec{v}_{21}^P</math> y aceleración <math>\vec{a}_{21}^P</math> del punto más alto de la hélice (punto <math>P</math> en la figura). 
# La reducción cinemática del movimiento {21} en <math>P</math> y la ecuación del E.I.R.M.D. ¿Qué tipo de movimiento describe la hélice respecto al sólido "1"?
# Calcule numéricamente <math>|\vec{v}_{21}^P|</math> y <math>|\vec{a}_{21}^P|</math> para los valores <math>R=1\,\mathrm{m}</math>, <math>L=100\,\mathrm{m}</math>, <math>\omega=100\,\mathrm{rad/s}</math> y <math>\Omega=1\,\mathrm{rad/s}</math>. 

'''Nota:''' Se recomienda utilizar el triedro asociado al sólido "0" para resolver el problema.

== Solución ==
===Reducción cinemática de {01} ===
El movimiento {01} es un rotación permanente cuyo eje es la recta
<math>OZ_1\equiv OZ_0</math>.  El punto <math>O</math> pertenece al eje de giro, por lo que
<math>\vec{v}_{01}^{O}=\vec{0}</math>.  El enunciado dice que el módulo de la
velocidad angular es <math>|\vec{\omega}_{01}|=\Omega</math>.  Según el giro que se indica
en la figura apunta en el sentido positivo del eje <math>Z_0</math>.  Por tanto la
reducción en el punto <math>O</math> es
<center><math>
  \begin{array}{lcl}
    \vec{\omega}_{01}=\Omega\,\vec{k}_0=\Omega\,\vec{k}_1&&\Delta_{\mathrm{EPR}}\equiv
    OZ_0\equiv OZ_1\\  &&\\\vec{v}_{01}^{O}=\vec{0}&&
  \end{array}
</math></center>

===Reducción cinemática de {20} ===
Este  movimiento es un rotación instantánea alrededor de la línea que
pasa por el centro de la hélice y es perpendicular a ella. Así pues,
el punto <math>C</math> pertenece al eje de giro, por lo que 
<math>\vec{v}_{20}^{C}=\vec{0}</math>.  En el dibujo también se observa que el eje
de giro es paralelo a <math>OY_0</math>.  Como el enunciado dice que el módulo de la
velocidad angular es <math>|\vec{\omega}_{20}|=\omega</math>, la reducción en el punto <math>C</math> es
<center><math>
  \begin{array}{lcl}
    \vec{\omega}_{20}=\omega\,\vec{\jmath}_0&&\Delta_{\mathrm{EIR}}\equiv CY_0\\
    && \\
    \vec{v}_{20}^{C}=\vec{0}    &&
  \end{array}
</math></center>

===Movimiento {21} ===
Para encontrar las magnitudes que nos pide el problema vamos a usar la
composición 
<center><math>
  \{21\}=\{20\}+\{01\}
</math></center>
La composición de velocidades angulares es
<center><math>
  \vec{\omega}_{21} = \vec{\omega}_{20}+\vec{\omega}_{01}
</math></center>
Usando los calculos realizados tenemos
<center><math>
  \vec{\omega}_{21} = \omega\,\vec{\jmath}_0+\Omega\,\vec{k}_0
</math></center>
Para la aceleración angular usamos
<center><math>
  \vec{\alpha}_{21} = \vec{\alpha}_{20}+\vec{\alpha}_{01}+\vec{\omega}_{01}\times\vec{\omega}_{20}
</math></center>
El enunciado nos dice que tanto <math>|\vec{\omega}_{01}|</math> como <math>|\vec{\omega}_{20}|</math> son
constantes. Por tanto se cumple
<center><math>
    \vec{\alpha}_{01}=\vec{\alpha}_{20}=\vec{0}
</math></center>
Calculando el producto vectorial resulta
<center><math>
  \vec{\alpha}_{21}=-\omega\,\Omega\,\vec{\imath}_0
</math></center>

Calculamos ahora <math>\vec{v}_{21}^P</math>.  Para ello usamos la composición de
movimientos y, dentro de cada movimiento, la ecuación del campo de velocidades
<center><math>
  \begin{array}{ll}
    \vec{v}_{21}^P=&\vec{v}_{20}^P+\vec{v}_{01}^P\\
    &\vec{v}_{20}^P=\vec{v}_{20}^C+\vec{\omega}_{20}\times\overrightarrow{CP}=(\omega\,\vec{\jmath}_0)\times(R\,\vec{k}_0)=R\omega\,\vec{\imath}_0 \\
    &\vec{v}_{01}^P=\vec{v}_{01}^{O}+\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{OP}=
    (\Omega\,\vec{k}_0)\times(L\,\vec{\imath}_0+R\,\vec{k}_0)=R\omega\,\vec{\imath}_0 =L\Omega\,\vec{\jmath}_0
  \end{array}
</math></center>
Por tanto
<center><math>
  \vec{v}_{21}^P = R\omega\,\vec{\imath}_0 + L\Omega\,\vec{\jmath}_0
</math></center>

Para calcular <math>\vec{a}_{21}^P</math> necesitamos determinar la aceleración en
un punto de los movimientos {01} y {20}. En ambos casos, los
puntos de los ejes de rotación respectivos tienen aceleración nula.Entonces
<center><math>
  \begin{array}{ccc}
    \vec{a}_{01}^{O}=\vec{0}&&\vec{a}_{20}^{C}=\vec{0}
  \end{array}
</math></center>
Ahora podemos calcular <math>\vec{a}_{21}^P</math> usando la composición  y
las ecuaciones del campo de velocidades de los correspondientes sólidos
<center><math>
  \begin{array}{ll}
    \vec{a}_{21}^P =& \vec{a}_{20}^P+\vec{a}_{01}^P+2\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}_{20}^P\\
    &\vec{a}_{20}^P = \vec{a}_{20}^C
    +\vec{\alpha}_{20}\times\overrightarrow{CP}+\vec{\omega}_{20}\times(\vec{\omega}_{20}\times\overrightarrow{CP})=
    -R \omega^2\,\vec{k}_0\\
    &\vec{a}_{01}^P = \vec{a}_{01}^{O}
    +\vec{\alpha}_{01}\times\overrightarrow{OP}+\vec{\omega}_{01}\times(\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{OP})=
    -L \Omega^2\,\vec{\imath}_0\\
    &2\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}_{20}^P =
    2(\Omega\,\vec{k}_0)\times(R\omega\,\vec{\imath}_0)= 2R\omega\Omega\,\vec{\jmath}_0
  \end{array}
</math></center>
Resulta
<center><math>
  \vec{a}_{21}^P=-L\Omega^2\,\vec{\imath}_0+2R\omega\Omega\,\vec{\jmath}_0-R\omega^2\,\vec{k}_0
</math></center>

Para encontrar el eje <math>\Delta_{21}</math>, vamos a calcular <math>\vec{v}_{21}^O</math>,
para hacer más sencilla la descripción de la posición del
eje. Utilizando la ecuación del campo de velocidades de {21} tenemos
<center><math>
  \begin{array}{ll}
  \vec{v}_{21}^O =& \vec{v}_{21}^P+\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{PO} \\
  & \vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{PO} = 
  \left|
    \begin{array}{ccc}
      \vec{\imath}_0&\vec{\jmath}_0&\vec{k}_0\\
      0&\omega&\Omega\\
      -L&0&-R
    \end{array}
  \right|=
  -R\omega\,\vec{\imath}_0-L\Omega\,\vec{\jmath}_0+L\omega\,\vec{k}_0\\
  \vec{v}_{21}^O =& L\omega\vec{k}_0
  \end{array}
</math></center>
Podemos encontrar un punto de <math>\Delta_{21}</math> usando la expresión
<center><math>
  \overrightarrow{OC^*}=\dfrac{\vec{\omega}_{21}\times\vec{v}_{21}^O}{|\vec{\omega}_{21}|^2}=
  \dfrac{L\omega^2}{\omega^2+\Omega^2}\,\vec{\imath}_0
</math></center>
La ecuación vectorial de <math>\Delta_{21}</math> es
<center><math>
  \Delta_{21}\equiv \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OC^*}+\lambda\vec{\omega}_{21}=
    \dfrac{L\omega^2}{\omega^2+\Omega^2}\,\vec{\imath}_0 +\lambda(\omega\vec{\jmath}_0+\Omega\vec{k}_0)
</math></center>
Como <math>\omega^2/(\omega^2+\Omega^2)<1</math>, el punto <math>C^*</math> está sobre el
eje <math>OX_0</math> en un punto intermedio entre el punto <math>O</math> y el punto
<math>C</math>.  La figura muestra la posición aproximada del eje.

Para determinar el tipo de movimiento calculamos la velocidad mínima
<center><math>
  v^{\text{mín}}=\dfrac{\vec{v}_{21}^P\cdot\vec{\omega}_{21}}{|\vec{\omega}_{21}|} = 
  \dfrac{L\omega\Omega}{\sqrt{\omega^2+\Omega^2}} \neq 0
</math></center>
Como <math>\vec{\omega}_{21}\neq0</math> y <math>v^{\text{mín}}\neq0</math> el movimiento instantáneo
es helicoidal tangente.
[[Imagen:F1_GIA_avion_girando_ejes.png|right]]

===Aplicación numérica ===
Con los valores numéricos dados y usando las expresiones de la velocidad y aceleración pedidas obtenemos 
<center><math>
  \begin{array}{l}
    |\vec{v}_{21}^P| = \sqrt{R^2\omega^2+L^2\Omega^2} = 141 \,\mathrm{m/s}=509
    \,\mathrm{km/h}\\ \\
    |\vec{a}_{21}^P| = \sqrt{L^2\Omega^4+4R^2\omega^2\Omega^2+R^2\omega^4}
      = 
      1.00\times10^4\,\mathrm{m/s^2}
  \end{array}
</math></center>
Damos los valores numéricos con 3 cifras significativas.
[[Categoría:Problemas de movimiento relativo]]