Volumen de un paralelepípedo

Enunciado

Sean los puntos de coordenadas (en el SI) $O(1,0,2)$, $A(3,2,4)$, $B(2,6,8)$ y $C(2,-3,1)$. Determine el volumen del paralelepípedo definido por los vectores ${\overrightarrow {OA}}$, ${\overrightarrow {OB}}$ y ${\overrightarrow {OC}}$.

Halle del mismo modo el volumen del paralelepípedo definido por los vectores ${\overrightarrow {AO}}$, ${\overrightarrow {AB}}$ y ${\overrightarrow {AC}}$.

Calcule igualmente el volumen del tetraedro irregular definido por estos cuatro puntos.

Primer volumen

El volumen de un paralelepípedo se calcula como el producto mixto (sin signo) de los tres vectores que definen el paralelepíedo.

$V=\left|{\overrightarrow {OA}}\cdot \left({\overrightarrow {OB}}\times {\overrightarrow {OC}}\right)\right|$

En nuestro caso los vectores los obtenemos hallando las diferencias entre las coordenadas de cada par de puntos

${\overrightarrow {OA}}=(2{\vec {\imath }}+2{\vec {\imath }}+2{\vec {k}})\,\mathrm {m}$    ${\overrightarrow {OB}}=({\vec {\imath }}+6{\vec {\imath }}+6{\vec {k}})\,\mathrm {m}$    ${\overrightarrow {OC}}=({\vec {\imath }}-3{\vec {\imath }}-1{\vec {k}})\,\mathrm {m}$

de forma que el producto mixto lo da el determinante

${\overrightarrow {OA}}\cdot \left({\overrightarrow {OB}}\times {\overrightarrow {OC}}\right)=\left|{\begin{matrix}2&2&2\\1&6&6\\1&-3&-1\end{matrix}}\right|\,\mathrm {m} ^{3}=20\,\mathrm {m} ^{3}$

Al ser positivo, este es el volumen del paralelepípedo.

$V=20\,\mathrm {m} ^{3}$

Segundo volumen

Para el segundo paralelepípedo calculamos los nuevos vectores de posición relativos

${\overrightarrow {AO}}=(-2{\vec {\imath }}-2{\vec {\imath }}-2{\vec {k}})\,\mathrm {m}$    ${\overrightarrow {AB}}=(-{\vec {\imath }}+4{\vec {\imath }}+4{\vec {k}})\,\mathrm {m}$    ${\overrightarrow {AC}}=(-{\vec {\imath }}-5{\vec {\imath }}-3{\vec {k}})\,\mathrm {m}$

El nuevo producto mixto es

${\overrightarrow {AO}}\cdot \left({\overrightarrow {AB}}\times {\overrightarrow {AC}}\right)=\left|{\begin{matrix}-2&-2&-2\\-1&4&4\\-1&-5&-3\end{matrix}}\right|\,\mathrm {m} ^{3}=-20\,\mathrm {m} ^{3}$

Puesto que el volumen debe ser positivo obtenemos

$V'=20\,\mathrm {m} ^{3}$

Este es el mismo resultado que antes, pese a que geométricamente estemos hablando de un paralelepípedo diferente. Puede demostrarse en general: un paralelepípedo definido por cuatro puntos a partir de tres vectores concurrentes que unen uno de los puntos con los otros tres posee el mismo volumen sea cual sea el punto de los cuatro que tomemos como origen de los vectores.

Para este caso la demostración parte de

$V'=\left|\left({\overrightarrow {AO}}\times {\overrightarrow {AB}}\right)\cdot {\overrightarrow {AC}}\right|$

aplicando que

${\overrightarrow {AO}}=-{\overrightarrow {OA}}$    ${\overrightarrow {AB}}={\overrightarrow {OB}}-{\overrightarrow {OA}}$

nos queda, para el primer producto vectorial

${\overrightarrow {AO}}\times {\overrightarrow {AB}}=-{\overrightarrow {OA}}\times \left({\overrightarrow {OB}}-{\overrightarrow {OA}}\right)=-{\overrightarrow {OA}}\times {\overrightarrow {OB}}$

ya que el producto vectorial de un vector por si mismo es nulo. Aplicando ahora que

${\overrightarrow {AC}}={\overrightarrow {OC}}-{\overrightarrow {OA}}$

y que el producto vectorial de ${\overrightarrow {OA}}$ por cualquier cosa es ortogonal a ${\overrightarrow {OA}}$ llegamos a

$\left({\overrightarrow {OA}}\times {\overrightarrow {OB}}\right)\cdot \left({\overrightarrow {OC}}-{\overrightarrow {OA}}\right)=\left({\overrightarrow {OA}}\times {\overrightarrow {OB}}\right)\cdot {\overrightarrow {OC}}$

Concluimos entonces que

$V'=\left|\left({\overrightarrow {AO}}\times {\overrightarrow {AB}}\right)\cdot {\overrightarrow {AC}}\right|=\left|-\left({\overrightarrow {OA}}\times {\overrightarrow {OB}}\right)\cdot {\overrightarrow {OC}}\right|=V$

Volumen del tetraedro

Un tetraedro es un caso particular de pirámide. El volumen de una pirámide es 1/3 del volumen del prisma que tiene la misma base y la misma altura. Si tomamos como base el triángulo definido por O, A y B, la altura es la proyección de ${\overrightarrow {OC}}$ en la dirección normal a la superficie

$V_{t}={\frac {1}{3}}\left|{\vec {S}}\cdot {\overrightarrow {OC}}\right|$

El área de un triángulo es área es 1/2 del área del paralelogramo definido por dos de sus lados.

${\vec {S}}={\frac {1}{2}}{\overrightarrow {OA}}\times {\overrightarrow {OB}}$

Por tanto, el volumen del tetraedro es (1/3)×(1/2) = 1/6 del volumen del paralelepípedo definido por tres aristas concurrentes del tetraedro, esto es

$V_{t}={\frac {1}{6}}\left|({\overrightarrow {OA}}\times {\overrightarrow {OB}})\cdot {\overrightarrow {OC}}\right|={\frac {10}{3}}\,\mathrm {m} ^{3}$

Puesto que podemos elegir cualquier vértice del tetraedro para tomar las tres aristas concurrentes, y el volumen de un paralelepípedo es siempre 6 veces el del tetraedro, llegamos de forma inmediata a la afirmación anterior de que todos los paralelepípedos definidos por los mismos cuatro puntos tienen el mismo volumen.