Velocidad y aceleración en puntos terrestres

Enunciado

La Tierra la podemos modelar como una esfera de 6370 km de radio. Determine la rapidez y la aceleración normal (expresada en unidades de g) para un punto del ecuador terrestre debida al movimiento de rotación terrestre. ¿Cuánto valen la rapidez y aceleración normal en Sevilla (latitud 37°24′40″N)?

En el ecuador

La rotación de la Tierra la podemos considerar uniforme siendo el periodo de revolución un día, es decir

$T=24\,\mathrm {h} =86400\,\mathrm {s}$

Esto no es realmente correcto, ya que el día solar mide la diferencia entre dos mediodías consecutivos y por tanto depende de la traslación de la Tierra. Respecto a un sistema fijo, el periodo correcto es el correspondiente a un día sideral, que es unos 4 minutos más corto (1/365 de día) y vale

$T=23\,\mathrm {h} \,56\,\mathrm {min} \,4\,\mathrm {s} =86164\,\mathrm {s}$

La diferencia, no obstante, es menor que la precisión con la que trabajamos.

La velocidad angular correspondiente a este periodo es, en módulo,

$\omega ={\frac {2\pi }{T}}=7.29\times 10^{-5}{\frac {\mathrm {rad} }{\mathrm {s} }}$

y la velocidad lineal en el Ecuador tiene por módulo

$|{\vec {v}}|=\omega R_{T}=\left(7.29\times 10^{-5}\right)(6.37\times 10^{6}){\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} }}=464.5{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} }}$

es decir, un punto del Ecuador se desplaza en la rotación terrestre a medio kilómetro por segundo. Este movimiento no se percibe porque lo que influye en los experimentos es la aceleración y esta vale

$a_{n}=\omega ^{2}R=0.034\,{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} ^{2}}}=0.0034g$

es decir, el efecto es de un 0.3% de la aceleración de la gravedad. Este efecto, aunque pequeño, es apreciable y es una de las causas, junto con el achatamiento terrestre, que hace que la gravedad tenga un valor diferente en los polos y en el ecuador.

En Sevilla

Cuando cambiamos de latitud, la velocidad angular no se ve afectada (puesto que la Tierra gira como un sólido) pero si la distancia al eje. Para un punto de latitud $\lambda$ esta distancia es

$r=R_{T}\cos(\lambda )\,$

lo cual nos da la velocidad

$|{\vec {v}}|=\omega R_{T}=\left(7.29\times 10^{-5}\right)(6.37\times 10^{6})\cos(37^{\circ }24^{\prime }40''){\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} }}=369{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} }}$

y la aceleración

$a_{n}=0.0269\,{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} ^{2}}}=0.0027g$

A la hora de estudiar el efecto de esta aceleración, el cálculo para Sevilla es más complicado que para el ecuador, ya que en un punto de latitud intermedia, la dirección de la gravedad (que va hacia el centro de la Tierra) y la aceleración normal (que va hacia el eje) no son coincidentes.