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Velocidad función de la posición

De Laplace

1 Enunciado

La velocidad de una partícula sigue la ley

v = \sqrt{Ax}

siendo x la distancia recorrida desde el instante inicial.

Calcule la aceleración de la partícula. ¿Qué tipo de movimiento describe?

2 Solución

La aceleración la obtenemos derivando la velocidad respecto al tiempo, lo cual se consigue aplicando la regla de la cadena,

a = \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}\,\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=\frac{k}{2\sqrt{kx}}\,\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}

pero la derivada de la posición respecto al tiempo es la propia velocidad, por lo que

a = \frac{k}{2\sqrt{kx}}\,v = \frac{k}{2\sqrt{kx}}\sqrt{kx} = \frac{k}{2}

La aceleración es por tanto constante y el movimiento es uniformemente acelerado.

También puede calcularse directamente a partir de la relación

a = v\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}x}\left(\frac{1}{2}v^2\right)

que en este caso da

\frac{1}{2}v^2= \frac{kx}{2} \qquad\Rightarrow\qquad a = \frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}x}\left(\frac{1}{2}kx\right)=\frac{k}{2}

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