Velocidad función de la posición

Enunciado

La velocidad de una partícula sigue la ley

$v={\sqrt {Ax}}$

siendo $x$ la distancia recorrida desde el instante inicial.

Calcule la aceleración de la partícula. ¿Qué tipo de movimiento describe?

Solución

La aceleración la obtenemos derivando la velocidad respecto al tiempo, lo cual se consigue aplicando la regla de la cadena,

$a={\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} x}}\,{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}={\frac {k}{2{\sqrt {kx}}}}\,{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}$

pero la derivada de la posición respecto al tiempo es la propia velocidad, por lo que

$a={\frac {k}{2{\sqrt {kx}}}}\,v={\frac {k}{2{\sqrt {kx}}}}{\sqrt {kx}}={\frac {k}{2}}$

La aceleración es por tanto constante y el movimiento es uniformemente acelerado.

También puede calcularse directamente a partir de la relación

$a=v{\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} x}}={\frac {\mathrm {d} \ }{\mathrm {d} x}}\left({\frac {1}{2}}v^{2}\right)$

que en este caso da

${\frac {1}{2}}v^{2}={\frac {kx}{2}}\qquad \Rightarrow \qquad a={\frac {\mathrm {d} \ }{\mathrm {d} x}}\left({\frac {1}{2}}kx\right)={\frac {k}{2}}$