Velocidad de una partícula (CMR)

Definición

Se define la velocidad media en un intervalo de tiempo como el cociente entre el desplazamiento realizado y el intervalo de tiempo empleado en realizarlo.

${\vec {v}}_{m}={\frac {\Delta {\vec {r}}}{\Delta t}}={\frac {{\vec {r}}_{2}-{\vec {r}}_{1}}{t_{2}-t_{1}}}$

La velocidad instantánea de la partícula es el límite de la velocidad media cuando el intervalo de tiempo es muy pequeño

${\vec {v}}=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {\Delta {\vec {r}}}{\Delta t}}={\frac {\mathrm {d} {\vec {r}}}{\mathrm {d} t}}$

Es decir, la velocidad instantánea es la derivada de la posición respecto al tiempo. En Física, las derivadas respecto al tiempo suelen representarse con un punto sobre la magnitud

${\vec {v}}={\frac {\mathrm {d} {\vec {r}}}{\mathrm {d} t}}={\dot {\vec {r}}}$

Si conocemos la velocidad instantánea a lo largo de un intervalo podemos calcular la posición como función del tiempo

${\vec {r}}(t)={\vec {r}}_{0}+\int _{0}^{t}{\vec {v}}\,\mathrm {d} t$

Vector tangente

El vector velocidad va en la dirección tangente a la trayectoria. Esto permite definir el unitario tangente

${\vec {T}}={\frac {\vec {v}}{\left|{\vec {v}}\right|}}\qquad \Rightarrow \qquad {\vec {v}}=\left|{\vec {v}}\right|{\vec {T}}$

Movimiento en el plano

En el caso particular de una partícula que se mueve por el plano OXY, la velocidad posee solo dos componentes

${\vec {v}}={\dot {x}}{\vec {\imath }}+{\dot {y}}{\vec {\jmath }}\qquad \Rightarrow \qquad \left|{\vec {v}}\right|={\sqrt {{\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}}}$

por lo que el vector tangente está sobre dicho plano, formando un cierto ángulo con el eje OX

${\vec {T}}=\cos(\phi ){\vec {\imath }}+\mathrm {sen} (\phi ){\vec {\jmath }}$

No hay que confundir este ángulo $\phi$ con la coordenada $\theta$ de polares. Las componentes del vector tangente se relacionan con las derivadas de las coordenadas a través de la proporcionalidad entre los vectores

${\frac {\dot {x}}{\cos(\phi )}}={\frac {\dot {y}}{\mathrm {sen} (\phi )}}\qquad \Rightarrow \qquad {\dot {x}}\,\mathrm {sen} (\phi )-{\dot {y}}\cos(\phi )=0$

Rapidez y distancia recorrida

Al módulo de la velocidad se lo denomina rapidez o celeridad de la partícula. Mide el ritmo con el que se recorre la trayectoria y como tal se relaciona directamente con el parámetro arco

$\left|{\vec {v}}\right|=\left|{\frac {\mathrm {d} {\vec {r}}}{\mathrm {d} t}}\right|={\frac {\left|\mathrm {d} {\vec {r}}\right|}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} s}{\mathrm {d} t}}={\dot {s}}$

Esto permite determinar la distancia recorrida en un intervalo de tiempo dado

$s=s_{0}+\int _{0}^{t}\left|{\vec {v}}\right|\,\mathrm {d} t$

Componentes de la velocidad

En un sistema de referencia fijo, los vectores de la base cartesiana son constantes, por lo que

${\vec {v}}={\dot {\vec {r}}}={\dot {x}}{\vec {\imath }}+{\dot {y}}{\vec {\jmath }}+{\dot {z}}{\vec {k}}$

es decir, las componentes de la velocidad son las derivadas de las componentes de la posición.

Velocidad en función de parámetros

Si la posición no está dada explícitamente en función del tiempo, sino que conocemos la trayectoria en función de un parámetro θ para hallar la velocidad es preciso aplicar la regla de la cadena

${\vec {v}}={\frac {\mathrm {d} {\vec {r}}}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} {\vec {r}}}{\mathrm {d} \theta }}\,{\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} {\vec {r}}}{\mathrm {d} \theta }}\,{\dot {\theta }}$

A menudo, la posición no se indica en función de las coordenadas cartesianas, sino como función de 2 o más variables, θ, φ… (denominadas coordenadas generalizadas). En ese caso, se extiende la expresión anterior

${\vec {v}}={\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial \theta }}\,{\dot {\theta }}+{\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial \varphi }}\,{\dot {\varphi }}+\cdots$

Si denominamos a las diferentes variables como $q_{k}\ (k=1,2,\ldots )$ la expresión anterior se escribe

${\vec {v}}={\frac {\mathrm {d} {\vec {r}}}{\mathrm {d} t}}=\sum _{k}{\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial q_{k}}}{\dot {q}}_{k}$

En ocasiones, la posición se expresa como función del tiempo y de una variable (dependiente implícitamente del tiempo). En ese caso, aplicamos que la derivada del tiempo respecto a sí mismo vale 1 (la velocidad del tiempo es un segundo por segundo) y queda

${\vec {r}}={\vec {r}}(\theta ,t)\qquad \Rightarrow \qquad {\vec {v}}={\frac {\mathrm {d} {\vec {r}}}{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial \theta }}\,{\dot {\theta }}+{\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial t}}$

Nótese la diferencia entre la derivada total (d) y la parcial ($\partial$).

Si depende de varias variables y del tiempo queda la fórmula general

${\vec {v}}={\frac {\mathrm {d} {\vec {r}}}{\mathrm {d} t}}=\sum _{k}{\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial q_{k}}}{\dot {q}}_{k}+{\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial t}}$

Velocidad en polares, cilíndricas y esféricas

Velocidad en polares

Cuando una partícula se mueve en el plano OXY su velocidad se encuentra confinada a este plano y tiene solo dos componentes

${\vec {v}}={\dot {x}}{\vec {\imath }}+{\dot {y}}{\vec {\jmath }}$

Por ser un vector de este plano podrá expresarse en la base polares. Obtenemos esta expresión derivando el vector de posición

${\vec {r}}=\rho {\vec {u}}_{\rho }\qquad \Rightarrow \qquad {\vec {v}}={\frac {\mathrm {d} \rho }{\mathrm {d} t}}{\vec {u}}_{\rho }+\rho {\frac {\mathrm {d} {\vec {u}}_{\rho }}{\mathrm {d} t}}$

La segunda derivada no es nula ya que el vector radial acompaña a la partícula en su movimiento y por tanto depende del tiempo. La calculamos por la regla de la cadena

${\frac {\mathrm {d} {\vec {u}}_{\rho }}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} {\vec {u}}_{\rho }}{\mathrm {d} \theta }}\,{\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}={\dot {\theta }}{\vec {u}}_{\theta }$

lo que nos da la velocidad

${\vec {v}}={\dot {\rho }}{\vec {u}}_{\rho }+\rho {\dot {\theta }}{\vec {u}}_{\theta }\qquad \qquad \left\{{\begin{array}{rcl}v_{\rho }&=&{\dot {\rho }}\\v_{\theta }&=&\rho {\dot {\theta }}\end{array}}\right.$

esto es, aunque la posición posee solo componente radial, la velocidad posee componente radial, debido al cambio en la distancia al origen y velocidad lateral, debido al cambio en la orientación del vector de posición.

La rapidez de la partícula en polares es el módulo de este vector

$\left|{\vec {v}}\right|={\sqrt {{\dot {\rho }}^{2}+\rho ^{2}{\dot {\theta }}^{2}}}$

El vector tangente en estas coordenadas se calcula dividiendo la velocidad por su módulo. A su vez, si este vector forma un ángulo $\phi$ con el eje OX

${\vec {T}}=\cos(\phi ){\vec {\imath }}+\mathrm {sen} (\phi ){\vec {\jmath }}$

forma uno $\phi -\theta$ con el vector de posición

${\vec {T}}=\cos(\phi -\theta ){\vec {u}}_{\rho }+\mathrm {sen} (\phi -\theta ){\vec {u}}_{\theta }$

A modo de ejemplo, si consideramos una partícula describiendo un movimiento circular alrededor del origen,

$\rho =A=\mathrm {cte} \qquad \Rightarrow \qquad {\dot {\rho }}=0\qquad \qquad {\dot {\theta }}=\omega$

y resulta la velocidad

${\vec {v}}=\overbrace {\dot {\rho }} ^{0}{\vec {u}}_{\rho }+\overbrace {\rho } ^{A}\overbrace {\dot {\theta }} ^{\omega }{\vec {u}}_{\theta }=\omega A{\vec {u}}_{\theta }$

En un movimiento circular alrededor del origen la velocidad es puramente acimutal, ya que la partícula solo gira en torno al origen.

Sin embargo, el que la velocidad acimutal sea distinta de cero (que visto desde el origen se vea girar), no implica que el movimiento sea circular, ni siquiera curvo.

Consideremos el caso de una partícula que sigue un movimiento rectilíneo y uniforme a lo largo de una recta paralela al origen de forma que

$x=L\qquad y=v_{0}t$

La expresión de este movimiento en polares es

$\rho ={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}={\sqrt {L^{2}+v_{0}^{2}t^{2}}}\qquad \qquad \theta =\,\mathrm {arctg} \left({\frac {y}{x}}\right)=\,\mathrm {arctg} \left({\frac {v_{0}t}{L}}\right)$

Las derivadas respecto al tiempo de estas dos magnitudes valen

${\dot {\rho }}={\frac {v_{0}^{2}t}{\sqrt {L^{2}+v_{0}^{2}t^{2}}}}\qquad {\dot {\theta }}={\frac {v_{0}Lt}{L^{2}+v_{0}^{2}t^{2}}}$

y esto nos da la velocidad instantánea

${\vec {v}}={\frac {v_{0}^{2}t{\vec {u}}_{\rho }+v_{0}Lt{\vec {u}}_{\theta }}{\sqrt {L^{2}+v_{0}^{2}t^{2}}}}$

vemos que aunque el movimiento sea rectilíneo y uniforme, resulta una velocidad radial y una acimutal no nula. Para interpretarlo nos imaginamos a un observador situado en el origen de coordenadas, que apunte en todo momento a la partícula. Este observador ve a la partícula acercarse y alejarse (pasando por un mínimo justo cuando está en la perpendicular a la recta), y también ve cambiar la dirección de observación, lo que equivale a un giro.

Velocidad en cilíndricas

Al pasar a tres dimensiones en coordenadas cilíndricas, simplemente añadimos la componente vertical del movimiento

${\vec {v}}={\dot {\rho }}{\vec {u}}_{\rho }+\rho {\dot {\theta }}{\vec {u}}_{\theta }+{\dot {z}}{\vec {u}}_{z}$

Así, en el caso del movimiento helicoidal uniforme

$\rho =A\qquad \qquad \theta =\Omega t\qquad \qquad z=v_{0}t$

la velocidad posee dos componentes en cilíndricas

${\vec {v}}=A\Omega {\vec {u}}_{\theta }+v_{0}{\vec {u}}_{z}$

que indica que en este caso la velocidad forma un ángulo constante con la horizontal.

Velocidad en esféricas

El cálculo de la velocidad en esféricas se hace de manera análoga al caso de polares pero teniendo en cuenta que en este caso el vector ${\vec {u}}_{r}$ depende de las dos variables angulares $\theta$ y $\varphi$. El resultado es

${\vec {v}}={\dot {r}}{\vec {u}}_{r}+r{\dot {\theta }}{\vec {u}}_{\theta }+r\,\mathrm {sen} (\theta ){\dot {\varphi }}{\vec {u}}_{\varphi }$