Varilla rotando con extremo deslizando sobre un eje

Enunciado

El extremo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A} de una barra de longitud Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle L} desliza sobre el eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OZ_1} . La barra gira respecto al eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OZ_1} , de modo que está siempre contenida en el plano Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OX_0Z_0} y el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B} permanece siempre en el eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OX_0} . El plano Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OX_0Z_0} realiza una rotación de eje permanente Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OZ_0} . En el instante inicial el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A} coincidía con Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O} y el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B} estaba sobre el eje $OX_{1}$.

1. Determina las reducciones cinemáticas de los movimientos {01}, {20} y {21}, así como sus derivadas. El resultado debe quedar en función de $z$, $\psi$, $\theta$ y sus derivadas temporales.
2. Supongamos que la velocidad del punto $A$ respecto al eje es constante y de magnitud $v_{0}$. Encuentra la ecuación diferencial que determina la función $\psi (t)$.

Solución

Reducciones cinemáticas

Movimiento {01}

Este movimiento es la rotación de eje permanente del plano $OX_{0}Z_{0}$ alrededor del eje $OZ_{0}$. Todos los puntos del eje están en reposo en este movimiento, en particular el punto $A$. Entonces una posible reducción cinemática es

${\vec {\omega }}_{01}={\dot {\theta }}\,{\vec {k}}_{0,1},\qquad {\vec {v}}_{01}^{\,A}={\vec {0}}.$

El eje del movimiento es $\Delta _{EPR}^{01}\equiv OZ_{0}$. Es una rotación permanente, porque el eje no cambia respecto al sólido "1". La derivada de la reducción cinemática es

${\vec {\alpha }}_{01}=\left.{\dfrac {\mathrm {d} {\vec {\omega }}_{01}}{\mathrm {d} t}}\right|_{1}={\ddot {\theta }}\,{\vec {k}}_{0,1},\qquad {\vec {a}}_{01}^{\,A}=\left.{\dfrac {\mathrm {d} {\vec {v}}_{01}^{\,A}}{\mathrm {d} t}}\right|_{1}={\vec {0}}.$

Hemos usado que ${\vec {k}}_{0}={\vec {k}}_{1}$, y por tanto es constante visto desde el sólido "1".

Movimiento {20}

El punto $A$ de la barra (sólido "2"), se mueve respecto al eje $OZ_{0}$, es decir, respecto al sólido "0". Entonces

${\vec {v}}_{20}^{\,A}={\dot {z}}\,{\vec {k}}_{0,1}$

Por otro lado, este movimiento es una rotación plana de la barra en el plano $OX_{0}Z_{0}$. Entonces ${\vec {\omega }}_{20}$ es perpendicular a este plano. Observando el dibujo vemos que

${\vec {\omega }}_{20}={\dot {\psi }}\,{\vec {\jmath }}_{0}$

Cuando $\psi$ aumenta, se tiene ${\dot {\psi }}>0$ y esta expresión da el sentido correcto del vector rotación.

Este movimiento es una rotación pura, pues ${\vec {\omega }}_{20}\cdot {\vec {v}}_{20}^{\,A}=0$. La aceleración angular es

${\vec {\alpha }}_{20}=\left.{\dfrac {\mathrm {d} {\vec {\omega }}_{20}}{\mathrm {d} t}}\right|_{0}={\ddot {\psi }}\,{\vec {\jmath }}_{0}$

Hemos usado que el vector ${\vec {\omega }}_{20}$ está expresado en la base del sólido "0", por lo que el vector ${\vec {\jmath }}_{0}$ es constante en esta derivada. Para la aceleración del punto $A$ tenemos

${\vec {a}}_{20}^{\,A}=\left.{\dfrac {\mathrm {d} {\vec {v}}_{20}^{\,A}}{\mathrm {d} t}}\right|_{0}={\ddot {z}}\,{\vec {k}}_{0}$

Movimiento {21}

Utilizamos la composición

$\{21\}=\{20\}+\{01\}$

Para el vector rotación

${\vec {\omega }}_{21}={\vec {\omega }}_{20}+{\vec {\omega }}_{01}={\dot {\psi }}\,{\vec {\jmath }}_{0}+{\dot {\theta }}\,{\vec {k}}_{0}$

Para la velocidad en $A$

${\vec {v}}_{21}^{\,A}={\vec {v}}_{20}^{\,A}+{\vec {v}}_{01}^{\,A}={\dot {z}}\,{\vec {k}}_{0}$

El vector aceleración angular

${\vec {\alpha }}_{21}={\vec {\alpha }}_{20}+{\vec {\alpha }}_{01}+{\vec {\omega }}_{01}\times {\vec {\omega }}_{20}=-{\dot {\psi }}{\dot {\theta }}\,{\vec {\imath }}_{0}+{\ddot {\psi }}\,{\vec {\jmath }}_{0}+{\ddot {\theta }}\,{\vec {k}}_{0}$

Y la aceleración en $A$

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}^{\,A}_{21} = \vec{a}^{\,A}_{20} + \vec{a}^{\,A}_{01} + 2\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}^{\,A}_{20} = \ddot{z}\vec{k}_0 }

Este movimiento es helicoidal tangente, pues ${\vec {\omega }}_{21}\neq {\vec {0}}$ y ${\vec {\omega }}_{21}\cdot {\vec {v}}_{21}^{\,A}\neq 0$.

Ecuación para $\psi$

En estas condiciones tenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\,A}_{21} = v_0\,\vec{k}_0 }

El punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B} está obligado a moverse en el plano Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OX_1Y_1} . Entonces su velocidad Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\,B}_{21}} no tiene componente en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Z_0} . Usando el Teorema de Chasles

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\,B}_{21} = \vec{v}^{\,A}_{21} + \vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{AB} }

El vector Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{AB}} es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{AB} = L\cos\psi\,\vec{\imath}_0 - L\,\mathrm{sen}\,\psi\,\vec{k}_0 }

Por tanto

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\,B}_{21} = -L\dot{\psi}\,\mathrm{sen}\,\psi\,\vec{\imath}_0 + L\dot{\theta}\cos\psi\,\vec{\jmath}_0 + (v_0-L\dot{\psi}\cos\psi)\,\vec{k}_0 }

Como la componente en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Z_0} tiene que ser nula, obtenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dot{\psi} = \dfrac{v_0}{L\cos\psi} }