Varilla rotando con extremo deslizando sobre un eje

Enunciado

El extremo $A$ de una barra de longitud $L$ desliza sobre el eje $OZ_{1}$. La barra gira respecto al eje $OZ_{1}$, de modo que está siempre contenida en el plano $OX_{0}Z_{0}$ y el punto $B$ permanece siempre en el eje $OX_{0}$. El plano $OX_{0}Z_{0}$ realiza una rotación de eje permanente $OZ_{0}$. En el instante inicial el punto $A$ coincidía con $O$ y el punto $B$ estaba sobre el eje $OX_{1}$.

1. Determina las reducciones cinemáticas de los movimientos {01}, {20} y {21}, así como sus derivadas. El resultado debe quedar en función de $z$, $\psi$, $\theta$ y sus derivadas temporales.
2. Supongamos que la velocidad del punto $A$ respecto al eje es constante y de magnitud $v_{0}$. Encuentra la ecuación diferencial que determina la función $\psi (t)$.

Solución

Reducciones cinemáticas

Movimiento {01}

Este movimiento es la rotación de eje permanente del plano $OX_{0}Z_{0}$ alrededor del eje $OZ_{0}$. Todos los puntos del eje están en reposo en este movimiento, en particular el punto $A$. Entonces una posible reducción cinemática es

${\vec {\omega }}_{01}={\dot {\theta }}\,{\vec {k}}_{0,1},\qquad {\vec {v}}_{01}^{\,A}={\vec {0}}.$

El eje del movimiento es $\Delta _{EPR}^{01}\equiv OZ_{0}$. Es una rotación permanente, porque el eje no cambia respecto al sólido "1". La derivada de la reducción cinemática es

${\vec {\alpha }}_{01}=\left.{\dfrac {\mathrm {d} {\vec {\omega }}_{01}}{\mathrm {d} t}}\right|_{1}={\ddot {\theta }}\,{\vec {k}}_{0,1},\qquad {\vec {a}}_{01}^{\,A}=\left.{\dfrac {\mathrm {d} {\vec {v}}_{01}^{\,A}}{\mathrm {d} t}}\right|_{1}={\vec {0}}.$

Hemos usado que ${\vec {k}}_{0}={\vec {k}}_{1}$, y por tanto es constante visto desde el sólido "1".

Movimiento {20}

El punto $A$ de la barra (sólido "2"), se mueve respecto al eje $OZ_{0}$, es decir, respecto al sólido "0". Entonces

${\vec {v}}_{20}^{\,A}={\dot {z}}\,{\vec {k}}_{0,1}$

Por otro lado, este movimiento es una rotación plana de la barra en el plano $OX_{0}Z_{0}$. Entonces ${\vec {\omega }}_{20}$ es perpendicular a este plano. Observando el dibujo vemos que

${\vec {\omega }}_{20}={\dot {\psi }}\,{\vec {\jmath }}_{0}$

Cuando $\psi$ aumenta, se tiene ${\dot {\psi }}>0$ y esta expresión da el sentido correcto del vector rotación.

Este movimiento es una rotación pura, pues ${\vec {\omega }}_{20}\cdot {\vec {v}}_{20}^{\,A}=0$. La aceleración angular es

${\vec {\alpha }}_{20}=\left.{\dfrac {\mathrm {d} {\vec {\omega }}_{20}}{\mathrm {d} t}}\right|_{0}={\ddot {\psi }}\,{\vec {\jmath }}_{0}$

Hemos usado que el vector ${\vec {\omega }}_{20}$ está expresado en la base del sólido "0", por lo que el vector ${\vec {\jmath }}_{0}$ es constante en esta derivada. Para la aceleración del punto $A$ tenemos

${\vec {a}}_{20}^{\,A}=\left.{\dfrac {\mathrm {d} {\vec {v}}_{20}^{\,A}}{\mathrm {d} t}}\right|_{0}={\ddot {z}}\,{\vec {k}}_{0}$

Movimiento {21}

Utilizamos la composición

$\{21\}=\{20\}+\{01\}$

Para el vector rotación

${\vec {\omega }}_{21}={\vec {\omega }}_{20}+{\vec {\omega }}_{01}={\dot {\psi }}\,{\vec {\jmath }}_{0}+{\dot {\theta }}\,{\vec {k}}_{0}$

Para la velocidad en $A$

${\vec {v}}_{21}^{\,A}={\vec {v}}_{20}^{\,A}+{\vec {v}}_{01}^{\,A}={\dot {z}}\,{\vec {k}}_{0}$

El vector aceleración angular

${\vec {\alpha }}_{21}={\vec {\alpha }}_{20}+{\vec {\alpha }}_{01}+{\vec {\omega }}_{01}\times {\vec {\omega }}_{20}=-{\dot {\psi }}{\dot {\theta }}\,{\vec {\imath }}_{0}+{\ddot {\psi }}\,{\vec {\jmath }}_{0}+{\ddot {\theta }}\,{\vec {k}}_{0}$

Y la aceleración en $A$

${\vec {a}}_{21}^{\,A}={\vec {a}}_{20}^{\,A}+{\vec {a}}_{01}^{\,A}+2{\vec {\omega }}_{01}\times {\vec {v}}_{20}^{\,A}={\ddot {z}}{\vec {k}}_{0}$

Este movimiento es helicoidal tangente, pues ${\vec {\omega }}_{21}\neq {\vec {0}}$ y ${\vec {\omega }}_{21}\cdot {\vec {v}}_{21}^{\,A}\neq 0$.

Ecuación para $\psi$

En estas condiciones tenemos

${\vec {v}}_{21}^{\,A}=v_{0}\,{\vec {k}}_{0}$

El punto $B$ está obligado a moverse en el plano $OX_{1}Y_{1}$. Entonces su velocidad ${\vec {v}}_{21}^{\,B}$ no tiene componente en $Z_{0}$. Usando el Teorema de Chasles

${\vec {v}}_{21}^{\,B}={\vec {v}}_{21}^{\,A}+{\vec {\omega }}_{21}\times {\overrightarrow {AB}}$

El vector ${\overrightarrow {AB}}$ es

${\overrightarrow {AB}}=L\cos \psi \,{\vec {\imath }}_{0}-L\,\mathrm {sen} \,\psi \,{\vec {k}}_{0}$

Por tanto

${\vec {v}}_{21}^{\,B}=-L{\dot {\psi }}\,\mathrm {sen} \,\psi \,{\vec {\imath }}_{0}+L{\dot {\theta }}\cos \psi \,{\vec {\jmath }}_{0}+(v_{0}-L{\dot {\psi }}\cos \psi )\,{\vec {k}}_{0}$

Como la componente en $Z_{0}$ tiene que ser nula, obtenemos

${\dot {\psi }}={\dfrac {v_{0}}{L\cos \psi }}$