Trabajo perdido por un refrigerador

En un sistema de aire acondicionado en el que la temperatura exterior es $T_{\mathrm {ext} }$ y el de la habitación es $T_{\mathrm {int} }$, siendo el coeficiente de desempeño $\mathrm {COP} _{\mathrm {R} }$ y Q el calor que fluye a través de la ventana,

1. Calcule el trabajo perdido en la ventana, en el aparato de aire acondicionado y el total.
2. ¿Cómo cambian los resultados si la temperatura interior es mayor que la exterior y el aparato funciona como una bomba de calor?
3. Calcule los valores numéricos para el apartado (1) si $T_{\mathrm {int} }=22\,^{\circ }\mathrm {C}$, $T_{\mathrm {ext} }=37\,^{\circ }\mathrm {C}$, $\mathrm {COP} _{\mathrm {R} }=3$ y $Q=6\,\mathrm {MJ}$, y para el apartado (2) si $T_{\mathrm {ext} }=7\,^{\circ }\mathrm {C}$ y el resto de las variables no cambia.

Trabajo perdido

En la ventana

Podemos preguntarnos cómo una ventana, que es un objeto pasivo, puede perder trabajo. La respuesta es que la ventana pone en contacto dos baños térmicos y hay calor que va del foco caliente al foco frío. Si ese calor pasara por una máquina térmica, podría aprovecharse.

El trabajo perdido por una máquina térmica se define como

$W_{\mathrm {per} }=W_{\mathrm {out} }^{\mathrm {rev} }-W_{\mathrm {out} }$

En este caso el trabajo de salida es nulo, mientras que el reversible sería el producido por una máquina de Carnot

$W_{\mathrm {out} }\qquad W_{\mathrm {out} }^{\mathrm {rev} }=\eta ^{\mathrm {rev} }Q_{\mathrm {in} }=\left(1-{\frac {T_{\mathrm {int} }}{T_{\mathrm {ext} }}}\right)Q$

lo que da el trabajo perdido en la ventana

$W_{\mathrm {per} }^{\mathrm {v} }=\left(1-{\frac {T_{\mathrm {int} }}{T_{\mathrm {ext} }}}\right)Q$

En el aparato de aire acondicionado

La trabajo perdido en el aparato de aire acondicionado es la diferencia entre el que requiere para funcionar y el que requeriría si fuera reversible, para una cantidad de calor extraído.

El trabajo que realiza realmente es

$W_{\mathrm {in} }={\frac {Q}{\mathrm {COP} _{\mathrm {R} }}}$

El que realizaría si fuera reversible sería

$W_{\mathrm {in} }^{\mathrm {rev} }={\frac {Q}{\mathrm {COP} _{\mathrm {R} }^{\mathrm {rev} }}}={\frac {(T_{\mathrm {ext} }-T_{\mathrm {int} })Q}{T_{\mathrm {int} }}}$

lo que nos da un trabajo perdido en el aire acondicionado

$W_{\mathrm {per} }^{a}={\frac {Q}{\mathrm {COP} _{\mathrm {R} }}}-{\frac {(T_{\mathrm {ext} }-T_{\mathrm {int} })Q}{T_{\mathrm {int} }}}$

Trabajo perdido total

Sumando los dos resultados anteriores queda

$W_{\mathrm {per} }=\left(1-{\frac {T_{\mathrm {int} }}{T_{\mathrm {ext} }}}\right)Q+{\frac {Q}{\mathrm {COP} _{\mathrm {R} }}}-{\frac {(T_{\mathrm {ext} }-T_{\mathrm {int} })Q}{T_{\mathrm {int} }}}=\left(-{\frac {(T_{\mathrm {ext} }-T_{\mathrm {int} })^{2}}{T_{\mathrm {int} }T_{\mathrm {ext} }}}+{\frac {1}{\mathrm {COP} _{\mathrm {R} }}}\right)Q$

Este sería el trabajo perdido considerando los elementos por separado.

Sin embargo, cuando consideramos los dos elementos conjuntamente vemos que hay un extra de trabajo perdido. Si la ventana fuera una máquina térmica, el calor que entraría en la habitación sería menor, e igual a

$Q'=Q-W={\frac {T_{\mathrm {int} }}{T_{\mathrm {ext} }}}Q$

y por tanto el aparato de aire acondicionado debería extraer menos calor de la habitación, lo que consumiría aun menos trabajo. En este sistema óptimo el trabajo del aire acondicionado reversible sería

$W_{\mathrm {in} }^{\mathrm {rev} }={\frac {Q'}{\mathrm {COP} _{\mathrm {R} }^{\mathrm {rev} }}}={\frac {(T_{\mathrm {ext} }-T_{\mathrm {int} })Q}{T_{\mathrm {ext} }}}$

Esto nos da un trabajo perdido total

$W_{\mathrm {per} }=\left(1-{\frac {T_{\mathrm {int} }}{T_{\mathrm {ext} }}}\right)Q+{\frac {Q}{\mathrm {COP} _{\mathrm {R} }}}-{\frac {(T_{\mathrm {ext} }-T_{\mathrm {int} })Q}{T_{\mathrm {ext} }}}={\frac {Q}{\mathrm {COP} _{\mathrm {R} }}}$