Tiro parabólico sobre una pendiente

Enunciado

Se desea alcanzar un blanco que se encuentra sobre un plano inclinado un ángulo β, estando el blanco a una distancia D del punto de disparo.

1. ¿Cuál es la rapidez mínima que debe tener el proyectil para llegar al blanco? ¿Con qué ángulo sobre la horizontal debe dispararse en ese caso?
2. Suponga que el plano tiene una pendiente del 75% y el proyectil se lanza con el ángulo que da el alcance máximo para llegar a D = 100 m. Para este caso, halle:
   1. La rapidez que tiene en el momento del impacto.
   2. La aceleración tangencial y normal (escalares) en el momento de impacto.

Tómese $g\simeq 10\mathrm {m} /\mathrm {s} ^{2}$.

Rapidez mínima

La rápidez de lanzamiento mínima para llegar a un punto es aquella que tiene la distancia al punto como alcance máximo. Si no fuera así, siempre podría reducirse la rapidez de lanzamiento y llegar al mismo punto.

Cuando decimos ¿rapidez mínima respecto a qué? En este problema, los datos son g, la aceleración de la gravedad, β la pendiente del plano y D la distancia al punto de impacto. Lo único que podemos modificar es el ángulo de tiro α, medido respecto a la horizontal.

Variando el ángulo de tiro debemos emplear una rapidez de lanzamiento $v_{0}(\alpha )$ para llegar al blanco. Se tratará entonces de ver para qué valor de α esta rapidez es mínima y cuánto vale este en este caso.

Para obtener esta rapidez hallaremos primero las condiciones para que impacte en un punto cualquiera, para cualquier ángulo de lanzamiento y posteriormente buscaremos el valor que hace mínima la rapidez.

Alcance general

En el movimiento del proyectil, se cumplen las ecuaciones horarias

$\left\{{\begin{array}{rcl}x&=&v_{0}\cos(\alpha )t\\z&=&v_{0}\,\mathrm {sen} (\alpha )t-\displaystyle {\frac {1}{2}}gt^{2}\end{array}}\right.$

Por otro lado, en el momento de impacto, el proyectil se encuentra sobre la pendiente, por lo que

$\left\{{\begin{array}{rcl}x&=&D\cos(\beta )\\z&=&D\,\mathrm {sen} (\beta )\end{array}}\right.$

Para hallar el punto de impacto, debemos resolver este sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas ($t$ y $v_{0}$), lo cual se puede hacer de diversas formas. Una vez que hayamos calculado la rapidez de lanzamiento, buscaremos su valor mínimo con respecto al ángulo de lanzamiento.

Primero despejamos el tiempo de impacto

$t={\frac {x}{v_{0}\cos(\alpha )}}={\frac {D\cos(\beta )}{v_{0}\cos(\alpha )}}$

y a continuación sustituimos en la coordenada vertical

$D\,\mathrm {sen} (\beta )=z={\frac {D\,\mathrm {sen} (\alpha )\cos(\beta )}{\cos(\alpha )}}-{\frac {g\,\cos ^{2}(\beta )D^{2}}{2v_{0}^{2}\cos ^{2}(\alpha )}}$

Dividiendo por D en cada miembro obtenemos una ecuación de primer grado y despejando

$v_{0}^{2}={\frac {gD\cos ^{2}(\beta )}{2\cos(\alpha )\left(\mathrm {sen} (\alpha )\cos(\beta )-\mathrm {sen} (\beta )\cos(\alpha )\right)}}$

Esta expresión se puede simplificar con ayuda de las relaciones trigonométricas y escribirse como

$v_{0}^{2}={\frac {gD\cos ^{2}(\beta )}{2\cos(\alpha )\mathrm {sen} (\alpha -\beta )}}$

Rapidez mínima

El procedimiento más “mecánico” para buscar la rapidez mínima consiste en derivar la expresión anterior respecto al ángulo de lanzamiento, igualar a 0 y de ahí obtener el ángulo que da el mínimo. Posteriormente, por sustitución, se halla la rapidez mínima.

Sin embargo, podemos hallar la rapidez mínima sin necesidad de derivar e igualar a cero con ayuda de la relación trigonométrica

$2\mathrm {sen} (a)\cos(b)=\mathrm {sen} (a+b)+\mathrm {sen} (a-b)\,$

que en este caso da

$v_{0}^{2}={\frac {gD\cos ^{2}(\beta )}{\mathrm {sen} (2\alpha -\beta )-\mathrm {sen} (\beta )}}$

Esta cantidad será mínima cuanto mayor sea el denominador. Dado que β es constante, el mayor denominador se alcanzará cuando

$\mathrm {sen} (2\alpha -\beta )=1\qquad \Rightarrow \qquad 2\alpha -\beta ={\frac {\pi }{2}}\qquad \Rightarrow \qquad \alpha ={\frac {\pi }{4}}+{\frac {\beta }{2}}$

siendo el valor mínimo de la rapidez de lanzamiento al cuadrado

$v_{0\mathrm {min} }^{2}={\frac {gD\cos ^{2}(\beta )}{1-\mathrm {sen} (\beta )}}$

Podemos simplificar la rapidez mínima haciendo uso de otra relación trigonométrica

$\cos ^{2}(\beta )=1-\mathrm {sen} ^{2}(\beta )=(1-\mathrm {sen} (\beta ))(1+\mathrm {sen} (\beta ))\,$

y queda

$v_{0\mathrm {min} }^{2}=gD(1+\mathrm {sen} (\beta ))$

y para la rapidez de lanzamiento

$v_{0\mathrm {min} }={\sqrt {gD(1+\mathrm {sen} (\beta ))}}$

siendo el ángulo de tiro óptimo

$\alpha ={\frac {\beta }{2}}+{\frac {\pi }{4}}$

Comprobamos los casos límite conocidos

• Para el plano horizontal $\beta =0$ y resulta el ángulo de máximo alcance y el valor de la rapidez

$\alpha ={\frac {\pi }{4}}+0=45^{\circ }\qquad \qquad v_{0\mathrm {min} }={\sqrt {gD}}$

• Para una pared vertical $\beta =\pi /2$ y resulta

$\alpha ={\frac {\pi }{4}}+{\frac {\pi }{4}}={\frac {\pi }{2}}=90^{\circ }\qquad \qquad v_{0\mathrm {min} }={\sqrt {2gD}}$

que quiere decir que, lógicamente, debemos lanzar el proyectil en vertical y el alcance será la máxima altura correspondiente a un tiro vertical

Velocidad inicial

A partir de la rapidez inicial y del ángulo de lanzamiento

$\alpha ={\frac {\pi }{4}}+{\frac {\beta }{2}}$

podemos hallar el vector velocidad inicial

${\vec {v}}_{0}=v_{0}\cos(\alpha ){\vec {\imath }}+v_{0}\,\mathrm {sen} (\alpha ){\vec {k}}$

Podemos poner este valor en función de los datos del problema. Por relaciones trigonométricas

$\cos(\alpha )={\sqrt {\frac {1+\cos(2\alpha )}{2}}}={\sqrt {\frac {1-\mathrm {sen} (\beta )}{2}}}\qquad \qquad \mathrm {sen} (\alpha )={\sqrt {\frac {1-\cos(2\alpha )}{2}}}={\sqrt {\frac {1+\mathrm {sen} (\beta )}{2}}}$

lo que da

${\vec {v}}_{0}={\sqrt {\frac {gD}{2}}}\left(\cos(\beta ){\vec {\imath }}+(1+\mathrm {sen} (\beta )){\vec {k}}\right)$

Caso particular

Rapidez de lanzamiento

Si la pendiente es del 75% y la distancia es de 100 m, la rapidez en el momento del lanzamiento debe ser

$\mathrm {tg} (\beta )=0.75\qquad \Rightarrow \qquad \mathrm {sen} (\beta )=0.6\qquad \Rightarrow \qquad v_{0}={\sqrt {10\times 100\times \left(1+0.6\right)}}{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} }}\simeq 40\,{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} }}$

un valor más exacto tomando $g=9.81\,\mathrm {m} /\mathrm {s} ^{2}$ da 39.6m/s.

La velocidad inicial de lanzamiento, en forma vectorial, es

${\vec {v}}_{0}=8{\sqrt {5}}({\vec {\imath }}+2{\vec {k}}){\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} }}=(17.9{\vec {\imath }}+35.8{\vec {k}}){\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} }}$

Rapidez en el impacto

En el caso de un tiro parabolico sobre una superficie horizontal el proyectil impacta con la misma rapidez con la que se disparón. Sobre una pendiente, esto no es cierto.

El cálculo, como en otros problemas, lo podemos realizar utilizando que se trata de un movimiento con aceleración constante. Esto, a su vez, es equivalente a usar la ley de conservación de la energía mecánica.

${\frac {\Delta {\vec {r}}}{\Delta t}}={\frac {{\vec {v}}_{2}+{\vec {v}}_{1}}{2}}\qquad \qquad {\vec {g}}={\frac {{\vec {v}}_{2}-{\vec {v}}_{1}}{\Delta t}}$

Multiplicando escalarmente estas dos ecuaciones

$|{\vec {v}}_{2}|^{2}-|{\vec {v}}_{1}|^{2}=2{\vec {g}}\cdot \Delta {\vec {r}}\qquad \Rightarrow \qquad |{\vec {v}}_{2}|={\sqrt {|{\vec {v}}_{1}|+2{\vec {g}}\cdot \Delta {\vec {r}}}}={\sqrt {v_{0}^{2}-2gD\,\mathrm {sen} (\beta )}}$

Sustituyendo el valor de la rapidez inicial, queda la de impacto

$|{\vec {v}}_{2}|={\sqrt {gD(1+\mathrm {sen} (\beta ))-2gD\,\mathrm {sen} (\beta )}}={\sqrt {2gD(1-\mathrm {sen} (\beta ))}}$

con el valor numérico para el caso particular

$v_{\mathrm {impacto} }={\sqrt {10\times 100\times \left(1-0.6\right)}}{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} }}\simeq 20\,{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} }}$

Este valor también puede hallarse a partir de las ecuaciones del movimiento uniformente acelerado.

La velocidad en cada instante cumple

${\vec {v}}={\vec {v}}_{0}+{\vec {g}}t=v_{0}\cos(\alpha ){\vec {\imath }}+(v_{0}\mathrm {sen} (\alpha )-gt){\vec {k}}$

con los valores numéricos

${\vec {v}}={\vec {v}}_{0}+{\vec {g}}t=8{\sqrt {5}}{\vec {\imath }}+(16{\sqrt {5}}-10t){\vec {k}}$

produciéndose el impacto en el momento en que $x=D\cos(\beta )$

$v_{0}\cos(\alpha )t=D\cos(\beta )\qquad t={\frac {D\cos(\beta )}{v_{0}\cos(\alpha )}}={\frac {100\times 0.8}{8{\sqrt {5}}}}\mathrm {s} =2{\sqrt {5}}\mathrm {s} \simeq 4.47\,\mathrm {s}$

lo que da

${\vec {v}}_{\mathrm {impacto} }=(8{\sqrt {5}}{\vec {\imath }}-4{\sqrt {5}}{\vec {k}}){\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} }}$

con módulo

$|{\vec {v}}_{\mathrm {impacto} }|={\sqrt {320+80}}=20{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} }}$

Componentes de la aceleración

Antes hemos hallado la velocidad en el momento del impacto

${\vec {v}}_{\mathrm {impacto} }=(8{\sqrt {5}}{\vec {\imath }}-4{\sqrt {5}}{\vec {k}}){\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} }}$

por lo que el vector tangente en ese momento es

${\vec {T}}={\frac {\vec {v}}{|{\vec {v}}|}}={\frac {2}{\sqrt {5}}}{\vec {\imath }}-{\frac {1}{\sqrt {5}}}{\vec {k}}$

lo que nos da la aceleración tangencial

$a_{t}={\vec {g}}\cdot {\vec {T}}={\frac {10}{\sqrt {5}}}\,{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} ^{2}}}=2{\sqrt {5}}\,{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} ^{2}}}=4.47\,{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} ^{2}}}$

en forma vectorial

${\vec {a}}_{t}=a_{t}{\vec {T}}=(4{\vec {\imath }}-2{\vec {k}})\,{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} ^{2}}}$

Restando obtenemos la aceleración normal

${\vec {a}}_{n}={\vec {a}}-{\vec {a}}_{t}=(-4{\vec {\imath }}-8{\vec {k}})\,{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} ^{2}}}$

con valor escalar

$a_{n}=4{\sqrt {5}}\,{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} ^{2}}}=8.94\,{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} ^{2}}}$

y obtenemos el vector normal a la trayectoria

${\vec {N}}={\frac {{\vec {a}}_{n}}{a_{n}}}=-{\frac {1}{\sqrt {5}}}{\vec {\imath }}-{\frac {2}{\sqrt {5}}}{\vec {k}}$