Tiro parabólico con plano inclinado, Septiembre 2019 (G.I.E.R.M.)

Enunciado

Se tiene el plano inclinado de la figura que forma un ángulo $\theta$ con la horizontal. Se dispara una partícula desde el punto más bajo, con una velocidad inicial ${\vec {v}}_{0}$, de módulo $10v_{p}$ y con un ángulo $\alpha$ con la horizontal. Los ángulos son tales que

$\mathrm {sen} \,\theta ={\dfrac {3}{5}}\qquad \cos \theta ={\dfrac {4}{5}}\qquad \qquad \qquad \mathrm {sen} \,\alpha ={\dfrac {4}{5}}\qquad \cos \alpha ={\dfrac {3}{5}}.$

1. Calcula la distancia $l$ entre el punto de partida y el de impacto sobre el plano inclinado, así como la velocidad (vector) con la que impacta.
2. Calcula el trabajo realizado por la fuerza gravitatoria sobre la partícula entre los puntos $O$ y $A$.
3. Calcula la potencia que la gravedad transmite a la partícula en cada. Discute el significado físico del signo de esta potencia.
4. Calcula las componentes intrínsecas de la aceleración en el punto de impacto.

Solución

Impacto con el plano

La partícula se mueve únicamente bajo la acción de la graveda. Por tanto, su movimiento es un tiro parabólico. La posición y velocidad iniciales son

${\begin{array}{l}{\vec {r}}(0)={\vec {0}}\\{\vec {v}}(0)=10v_{p}\cos \alpha \,{\vec {\imath }}+10v_{p}\,\mathrm {sen} \,\alpha \,{\vec {\jmath }}=6v_{p}\,{\vec {\imath }}+8v_{p}\,{\vec {\jmath }}.\end{array}}$

En el tiro oblicuo, el movimiento horizontal de la partícula es rectilíneo uniforme mientras que el vertical es uniformemente acelerado con aceleración $-g$. Los vectores aceleración, velocidad y posición de la partícula son

${\begin{array}{l}{\vec {a}}=-g\,{\vec {\jmath }},\\{\vec {v}}=6v_{p}\,{\vec {\imath }}+(8v_{p}-gt)\,{\vec {\jmath }},\\{\vec {v}}=6v_{p}t\,{\vec {\imath }}+(8v_{p}t-gt^{2}/2)\,{\vec {\jmath }},\\\end{array}}$

El vector de posición del punto $A$ sobre la rampa es

${\overrightarrow {OA}}=l\cos \theta \,{\vec {\imath }}+l\,\mathrm {sen} \,\theta \,{\vec {\jmath }}={\dfrac {4}{5}}l\,{\vec {\imath }}+{\dfrac {3}{5}}l\,{\vec {\jmath }}.$

Cuando la partícula impacte con el plano inclinado se cumplirá

${\overrightarrow {OA}}={\vec {r}}(t_{i})\Longrightarrow \left\{{\begin{array}{l}{\dfrac {4}{5}}l=6v_{p}t_{i}\\\\{\dfrac {3}{5}}l=8v_{p}t_{i}-{\dfrac {1}{2}}gt_{i}^{2}\end{array}}\right.$

Tenemos dos ecuaciones para dos incógnitas: $l,t_{i}$. Resolviendo tenemos

$t_{A}={\dfrac {v_{p}}{g}},\qquad l={\dfrac {105}{2}}{\dfrac {v_{p}^{2}}{g}}.$

Trabajo realizado por la gravedad

El trabajo realizado por la fuerza gravitatoria es la variación de la energía potencial gravitatoria, con el signo cambiado

$\Delta W_{g}=-\Delta U_{g}=-mgl\,\mathrm {sen} \,\theta =-{\dfrac {63}{2}}mv_{p}^{2}.$

Potencia instantánea transmitida por la gravedad

La potencia que, en cada instante, la fuerza gravitatoria comunica a la partícula es

$P_{g}={\vec {F}}_{g}\cdot {\vec {v}}=m{\vec {g}}\cdot {\vec {v}}=-g(8v_{p}-gt)$

Esta potencia cambia de signo en el instante $t=8v_{p}/g$. Sin embargo, este tiempo es menor que $t_{i}$. Entonces, durante todo el trayecto la potencia es negativa, es decir, la gravedad frena la partícula.

Componentes intrínsecas de la aceleración en el momento del impacto

En el impacto, $t_{i}=v_{p}/g$, y la velocidad y aceleración son

${\begin{array}{l}{\vec {v}}_{i}={\vec {v}}_{p}(t_{i})=6v_{p}\,{\vec {\imath }}-7v_{p}\,{\vec {\jmath }}\\{\vec {a}}_{i}=-g\,{\vec {\jmath }}.\end{array}}$

El módulo de la velocidad es

$|{\vec {v}}_{i}|={\sqrt {85}}\,v_{p}.$

La aceleración tangencial es

$a_{T}={\dfrac {{\vec {a}}_{i}\cdot {\vec {v}}_{i}}{|{\vec {v}}_{i}|}}=-{\dfrac {7}{\sqrt {85}}}g.$

Y la aceleración normal es

$a_{N}={\dfrac {|{\vec {a}}_{i}\times {\vec {v}}_{i}|}{|{\vec {v}}_{i}|}}={\sqrt {|{\vec {a}}_{i}|^{2}-a_{T}^{2}}}={\dfrac {6}{\sqrt {85}}}\,g.$

El signo de la aceleración tangencial es compatible con la discusión sobre la potencia del apartado anterior.