Termómetro con dos cámaras de gas

Enunciado

Se construye un termómetro de gas ideal según el siguiente principio: un tubo cilíndrico de sección Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A} y longitud Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 2a} con paredes adiabáticas y bases diatermas es dividido por un pistón, también adiabático, que puede deslizarse sin rozamiento por el interior del tubo. En el interior de las dos cámaras se encuentra un gas ideal. Una de las dos cámaras se mantiene en contacto térmico con un foco a temperatura Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle T_0} , mientras que la otra se pone en contacto con el sistema cuya temperatura se quiere medir. Cuando las dos temperaturas son iguales el pistón se encuentra en la posición central y la presión del gas es Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle p_0} .

1. Calcule la temperatura absoluta Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle T} a la que se encuentra el sistema cuando el pistón se ha desplazado una cantidad Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x} desde el centro hacia el sistema a Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle T_0} . ¿Resulta una escala lineal de temperaturas? ¿A cuánto tiende Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x} si Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle T\to 0} o si $T\to \infty$?
2. Supongamos que el tubo mide 20 cm, la temperatura de referencia es $T_{0}=300\,\mathrm {K}$ y el pistón se desplaza 1 cm. ¿Cuál es la temperatura del sistema exterior?

Escala de temperaturas

Nuestro sistema es el cilindro con las dos cámaras. Este sistema intercambia calor de dos modos. La cámara derecha cede o absorbe calor del foco a temperatura constante Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle T_0} , de modo que la temperatura de esta cámara es siempre Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle T_0} . La cámara de la izquierda intercambia calor con el sistema del que se quiere medir la temperatura. Es decir, ninguna de las dos cámaras es adiabática. Los procesos en la cámara de la derecha son isotermos, mientras que los de la izquierda no mantienen ninguna magnitud termodinámica constante.

Para medir la temperatura de un sistema ponemos en contacto la cámara izquierda con él. El trasvase de calor que se produce hace que varíe el estado del gas en esta cámara, por lo que se altera el valor de la presión. Entonces, el pistón se desplaza, con lo cual cambia el volumen de los dos gases. El equilibrio se recupera cuando la presión a ambos lados del pistón sea la misma. Los dos gases tendrán en general temperaturas distintas pues el pistón es adiabático y no permite el paso de calor.

Cuando las temperaturas son iguales en ambas cámaras el pistón está en el centro del cilindro y el volumen ocupado por los dos gases es el mismo

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle V_{L0}=V_{R0}=Sa\,}

Si el pistón se desplaza hacia la derecha, el volumen de la cámara izquierda aumenta y el de la derecha disminuye

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{l} V_L=S(a+x)\\ \\ V_R=S(a-x) \end{array} }

Cuando el pistón se desplaza hacia la izquierda los valores de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x} son negativos, con lo que estas expresiones también dan el valor correcto del volumen ocupado por cada gas.

Al poner en contacto el gas de la izquierda con el sistema a temperatura Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle T } el nuevo equilibrio se alcanza cuando las presiones en los dos gases son iguales. En ese instante, para la cámara de la izquierda

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{p_0Sa}{T_0}=\frac{p_{L0}V_{L0}}{T_{L0}}=\frac{p_LV_L}{T_L} = \frac{p S(a+x)}{T}}

y para la de la derecha

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{p_0Sa}{T_0}=\frac{p_{R0}V_{R0}}{T_{R0}}=\frac{p_RV_R}{T_R} = \frac{p S(a-x)}{T_0}}

Igualando ambas cantidades obtenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{a+x}{T}=\frac{a-x}{T_0} \qquad\Rightarrow\qquad T = T_0\,\frac{a+x}{a-x}}

Está función no es lineal, pues su gráfica no corresponde a una línea recta.

Para examinar los límites propuestos en el enunciado despejamos Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x } en función de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle T}

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \displaystyle x=\frac{T-T_0}{T+T_0}a }

Cuando Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle T\to 0} obtenemos Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x\to -a} . Si el sistema exterior está muy frío el pistón tiende a situarse en el extremo izquierdo. En el otro límite, si Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle T\to\infty} se tiene Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x\to +a} . Si el sistema está muy caliente el pistón se desplaza hacia la derecha.

La figura muestra como depende la temperatura medida con la posición del émbolo. Pueden apreciarse los dos límites que hemos calculado.

Cálculo numérico de la temperatura

De los datos del enunciado se deduce Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a =10\,\mathrm{cm}} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x =1\,\mathrm{cm}} . Si Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle T_0 = 300\,\mathrm{K}} tenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle T = \frac{10+1}{10-1}\times 300=367\,\mathrm{K}=94\,^\circ\mathrm{C} }

La presión en el equilibrio es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle p_d = p_i = \frac{p_0a}{a-x}= 111\,\mathrm{kPa}}