Enunciado del teorema
El campo de velocidades de un sólido, cumple la condición de rigidez
si y solo si es de la forma
esto es, se compone de una traslación y una rotación (que pueden ser nulas). Este es el conocido como Teorema de Chasles.
Verificación de la condición de rigidez
La demostración de que si el campo de velocidades es de la forma indicada, entonces cumple la condición de rigidez es bastante elemental. Si para todo se cumple
entonces, para dos puntos cualesquiera se verifica
Restando
El segundo miembro es ortogonal a , por lo que
y separando los términos
esto es, el campo de velocidades es equiproyectivo y cumple la condición de rigidez.
Deducción de la forma del campo
Más complicado es el recíproco: que si verifica la condición cinemática de rigidez, la forma general del campo de velocidades es la indicada.
La condición cinemática de rigidez equivale a la equiproyectividad del campo de velocidades: para cualesquiera dos puntos y se verifica
se trata de demostrar que si se cumple esta condición, puede escribirse en la forma
Para demostrarlo, suponemos un sistema de referencia con origen en el punto y cuyos ejes vienen caracterizados por los vectores unitarios , y .
Velocidad relativa al origen
Definamos en primer lugar el campo de velocidades, también equiproyectivo
que representa la velocidad medida por un sistema que se mueve con la misma velocidad que el origen de coordenadas.
Este campo cumple
Equiproyectividad aplicada a cada vector de la base con el origen
Si aplicamos la condición de equiproyectividad de a los dos puntos y nos queda
esto quiere decir que la velocidad es ortogonal al vector de posición , esto es, no posee componente y puede escribirse como
Aplicando el mismo razonamiento a y a nos queda
Equiproyectividad aplicada a pares de vectores de la base
La condición de equiproyectividad también puede aplicarse al par de puntos y . En este caso tenemos
⇒
Operando igualmente con los otros dos pares nos queda
Si llamamos
el valor de en , y se escribe
Aplicación a un punto genérico
Si ahora aplicamos la condición de equiproyectividad a un punto cualquiera
y al origen nos queda
esto es, que la velocidad (relativa al origen) en cada punto es ortogonal al vector de posición de dicho punto.
Si ahora aplicamos la condición al mismo punto y al punto tenemos
⇒
y aplicándolo al mismo punto con los otros vectores de la base
esto es
y volviendo a nuestro campo de velocidades original,
con lo que se completa la demostración del teorema de Chasles.