Enunciado del teorema

El campo de velocidades de un sólido, cumple la condición de rigidez

si y solo si es de la forma

esto es, se compone de una traslación y una rotación (que pueden ser nulas). Este es el conocido como Teorema de Chasles.

Verificación de la condición de rigidez

La demostración de que si el campo de velocidades es de la forma indicada, entonces cumple la condición de rigidez es bastante elemental. Si para todo se cumple

entonces, para dos puntos cualesquiera se verifica

  

Restando

El segundo miembro es ortogonal a , por lo que

y separando los términos

esto es, el campo de velocidades es equiproyectivo y cumple la condición de rigidez.

Deducción de la forma del campo

Más complicado es el recíproco: que si verifica la condición cinemática de rigidez, la forma general del campo de velocidades es la indicada.

La condición cinemática de rigidez equivale a la equiproyectividad del campo de velocidades: para cualesquiera dos puntos y se verifica

se trata de demostrar que si se cumple esta condición, puede escribirse en la forma

Para demostrarlo, suponemos un sistema de referencia con origen en el punto y cuyos ejes vienen caracterizados por los vectores unitarios , y .

Velocidad relativa al origen

Definamos en primer lugar el campo de velocidades, también equiproyectivo

que representa la velocidad medida por un sistema que se mueve con la misma velocidad que el origen de coordenadas.

Este campo cumple

    

Equiproyectividad aplicada a cada vector de la base con el origen

Si aplicamos la condición de equiproyectividad de a los dos puntos y nos queda

esto quiere decir que la velocidad es ortogonal al vector de posición , esto es, no posee componente y puede escribirse como

Aplicando el mismo razonamiento a y a nos queda

    

Equiproyectividad aplicada a pares de vectores de la base

La condición de equiproyectividad también puede aplicarse al par de puntos y . En este caso tenemos

 ⇒ 

Operando igualmente con los otros dos pares nos queda

    

Si llamamos

        

el valor de en , y se escribe

        

Aplicación a un punto genérico

Si ahora aplicamos la condición de equiproyectividad a un punto cualquiera

  

y al origen nos queda

esto es, que la velocidad (relativa al origen) en cada punto es ortogonal al vector de posición de dicho punto.

Si ahora aplicamos la condición al mismo punto y al punto tenemos

 ⇒ 

y aplicándolo al mismo punto con los otros vectores de la base

  

esto es

y volviendo a nuestro campo de velocidades original,

con lo que se completa la demostración del teorema de Chasles.