Sistema de vectores deslizantes equivalente a un vector deslizante

Enunciado

Una fuerza ${\vec {F}}=F\,{\vec {\jmath }}$ actúa sobre un sólido rígido aplicada en el punto $P(a,0,0)$. Encuentra un sistema de vectores deslizantes formado por tres fuerzas que sea equivalente a la fuerza ${\vec {F}}$ y esté aplicado en el origen de referencia.

Solución

Dado un vector deslizante aplicado en un punto $P$, su efecto es el mismo que el de un sistema de vectores deslizantes aplicado en un punto $O$ y compuesto por el mismo vector original más un par de vectores, cuyo momento debe ser el mismo que el del vector original respecto al punto $O$.

El vector deslizante del enunciado es

${\vec {F}}=F\,{\vec {\jmath }}\qquad \qquad P(a,0,0)$

El momento de este vector respecto del punto $O$ es

${\vec {M}}^{O}={\overrightarrow {OP}}\times {\vec {F}}=(a\,{\vec {\imath }})\times (F\,{\vec {\jmath }})=aF\,{\vec {k}}$

El sistema equivalente está formado por el mismo vector original aplicado en $O$ y un par de vectores

$S_{eq}=\{({\vec {F}}_{1}=F\,{\vec {\jmath }},O);({\vec {F}}_{2},P_{2});({\vec {F}}_{3},P_{3})\}$

Con la condición ${\vec {F}}_{2}=-{\vec {F}}_{3}$ ya que forman un par de vectores. El momento de este par debe ser igual que ${\vec {M}}^{O}$.

Hay infinitos pares de vectores que tienen este momento. Basta con que el producto del brazo del par por el módulo de sus vectores sea $aF$, y que la dirección y sentido sean los mismos. Una posibilidad es el par de vectores deslizantes

${\begin{array}{ll}{\vec {F}}_{2}={\dfrac {F}{2}}\,{\vec {\jmath }}&P_{2}(a,0,0)\\{\vec {F}}_{3}=-{\dfrac {F}{2}}\,{\vec {\jmath }}&P_{2}(-a,0,0)\end{array}}$

En este caso el brazo del par es $2a$ y el módulo de los vectores es $F/2$

Otra posibilidad es la de la figura. En este caso el brazo del par es $a$ y el módulo de los vectores es $F$.