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Sistema de vectores deslizantes equivalente a un vector deslizante

De Laplace

1 Enunciado

Una fuerza \vec{F} = F\,\vec{\jmath} actúa sobre un sólido rígido aplicada en el punto P(a,0,0). Encuentra un sistema de vectores deslizantes formado por tres fuerzas que sea equivalente a la fuerza \vec{F} y esté aplicado en el origen de referencia.

2 Solución

Dado un vector deslizante aplicado en un punto P, su efecto es el mismo que el de un sistema de vectores deslizantes aplicado en un punto O y compuesto por el mismo vector original más un par de vectores, cuyo momento debe ser el mismo que el del vector original respecto al punto O.

El vector deslizante del enunciado es


\vec{F}=F\,\vec{\jmath}\qquad\qquad P(a,0,0)

El momento de este vector respecto del punto O es


\vec{M}^O = \overrightarrow{OP}\times\vec{F}=
(a\,\vec{\imath})\times(F\,\vec{\jmath})=
aF\,\vec{k}

El sistema equivalente está formado por el mismo vector original aplicado en O y un par de vectores


S_{eq} = \{ (\vec{F}_1=F\,\vec{\jmath},O); (\vec{F}_2,P_2); (\vec{F}_3, P_3)\}

Con la condición \vec{F}_2=-\vec{F}_3 ya que forman un par de vectores. El momento de este par debe ser igual que \vec{M}^O .

Hay infinitos pares de vectores que tienen este momento. Basta con que el producto del brazo del par por el módulo de sus vectores sea aF, y que la dirección y sentido sean los mismos. Una posibilidad es el par de vectores deslizantes


\begin{array}{ll}
\vec{F}_2 = \dfrac{F}{2}\,\vec{\jmath} & P_2(a,0,0)\\
\vec{F}_3 = -\dfrac{F}{2}\,\vec{\jmath} & P_2(-a,0,0)
\end{array}

En este caso el brazo del par es 2a y el módulo de los vectores es F / 2

Otra posibilidad es la de la figura. En este caso el brazo del par es a y el módulo de los vectores es F.

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