Sistema de vectores deslizantes equivalente a un sistema de vectores deslizantes

Enunciado

Se tiene un s.v.d. formado por tres vectores ${\vec {F}}_{1}$, ${\vec {F}}_{2}$ y ${\vec {F}}_{3}$, con puntos de aplicación $P_{1}$, $P_{2}$ y $P_{3}$.

${\begin{array}{lcl}{\vec {F}}_{1}={\vec {\jmath }}\,\mathrm {(N)} &\qquad \qquad &P_{1}(1,0,0)\,\mathrm {(m)} \\{\vec {F}}_{2}=-{\vec {\imath }}\,\mathrm {(N)} &\qquad \qquad &P_{2}(0,1,0)\,\mathrm {(m)} \\{\vec {F}}_{3}={\vec {\imath }}+{\vec {\jmath }}\,\mathrm {(N)} &\qquad \qquad &P_{3}(1,1,0)\,\mathrm {(m)} \end{array}}$

1. Encuentra la resultante y el momento resultante en el origen.
2. ¿Existe un s.v.d. formado por un vector suelto que sea dinámicamente equivalente al sistema original?

Solución

Resultante y momento resultante en $O$

La resultante de este sistema es

${\vec {R}}={\vec {F}}_{1}+{\vec {F}}_{2}+{\vec {F}}_{3}=2\,{\vec {\jmath }}$

El momento de cada vector respecto al punto $O$

${\begin{array}{l}{\vec {M}}_{1}^{O}={\overrightarrow {OP}}_{1}\times {\vec {F}}_{1}={\vec {k}}\\{\vec {M}}_{2}^{O}={\overrightarrow {OP}}_{2}\times {\vec {F}}_{2}={\vec {k}}\\{\vec {M}}_{3}^{O}={\overrightarrow {OP}}_{3}\times {\vec {F}}_{3}={\vec {0}}\end{array}}$

El momento resultante es la suma de los tres

${\vec {M}}^{O}={\vec {M}}_{1}^{O}+{\vec {M}}_{2}^{O}+{\vec {M}}_{3}^{O}=2{\vec {k}}$

¿Vector suelto equivalente?

Los sistemas de vectores deslizantes pueden caracterizarse en función de la nulidad o no de sus invariantes escalares. En este sistema son

${\vec {R}}=2\,{\vec {\jmath }},\qquad {\vec {M}}_{O}\cdot {\vec {R}}=0$

El invariante escalar es cero. Esto significa que existe un punto del espacio en el que la reducción consta de un sólo vector deslizante con cursor igual a ${\vec {R}}$. Pero si existe un punto, la recta definida por ese punto y el vector ${\vec {R}}$ cumple la misma propiedad, pues un vector deslizante puede moverse libremente por su recta soporte.

Para encontrar la recta donde ocurre esto usamos la ecuación del campo momentos. Buscamos un punto $P$ en el que el momento resultante del sistema sea nulo

${\vec {M}}^{\,P}={\vec {M}}^{\,O}+{\vec {R}}\times {\overrightarrow {OP}}={\vec {0}}$

Multiplicamos los dos lados de la expresión vectorialmente por ${\vec {R}}$

${\vec {0}}={\vec {R}}\times {\vec {M}}^{O}+{\vec {R}}\times ({\overrightarrow {OP}}\times {\vec {R}})=|{\vec {R}}|^{2}{\overrightarrow {OP}}-({\vec {R}}\cdot {\overrightarrow {OP}})\,{\vec {R}}=0$

El objetivo es despejar ${\overrightarrow {OP}}$. Pero ello no es posible en esta expresión. Pero $P$ puede ser cualquier punto de la recta soporte del vector buscado. Podemos entonces buscar el punto de la recta soporte tal que se verifique ${\overrightarrow {OP}}^{*}\cdot {\vec {R}}=0$. Ahora podemos despejar

${\overrightarrow {OP}}^{*}={\dfrac {{\vec {R}}\times {\vec {M}}^{O}}{|{\vec {R}}|^{2}}}$

Este vector localiza un punto de la recta soporte del vector suelto equivalente al s.v.d. original. En nuestro caso tenemos

${\overrightarrow {OP}}^{*}={\vec {\imath }}$

El vector deslizante definido por

$({\vec {R}};{\overrightarrow {OP}}^{*})$

es dinámicamente equivalente al sistema original.