Enunciado
Un sólido está formado por dos masas iguales,Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m_1=m_2=m}
, unidas por una varilla sin masa. En un instante dado, las dos partículas se hallan en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OA}=2b\vec{\imath}_2}
y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OB}=b(3\vec{\imath}_2+2\vec{\jmath}_2 )}
, respectivamente, siendo el sistema Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OX_2Y_2Z_2}
uno ligado al sólido (Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OX_1Y_1Z_1}
sería un sistema fijo).
- ¿Cuál es la posición del CM del sistema?
- ¿Cuánto vale su tensor de inercia respecto al triedro Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OX_2 Y_2 Z_2}
?
- Determine los ejes principales de inercia y los momentos principales de inercia de este sólido.
- Si la varilla gira con velocidad angular constante Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Omega\vec{\imath}21}
alrededor del eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OX_1=OX_2}
, ¿cuánto vale su momento cinético respecto a O? ¿Y su energía cinética?
- Para el movimiento anterior, ¿qué fuerza y que momento hay que aplicar en O para mantener el sistema en movimiento?
Centro de masas
Al ser las dos masas iguales, el centro de masas se halla en el punto medio
Tensor de inercia
Para un sistema de masas puntuales, basta con sumar las contribuciones de cada una a los diferentes momentos y productos de inercia.
Respecto al eje OX
La masa 1 se halla sobre el propio eje y la 2 a una distancia 2b, por tanto
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{xx}=0+m(2b)^2=4mb^2\,}
Respecto al eje OY
La masa 1 está a 2b y la 2 a 3b
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{yy}=m(4b^2+9b^2)=13mb^2\,}
Respecto al eje OZ
Se trata de una figura plana en el plano Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OX_1Y_1}
por lo que
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{zz}=I_{xx}+I_{yy}=17mb^2\,}
Productos de inercia
Por ser una figura plana en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OX_1Y_1}
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{xz}=I_{yz}=0\,}
El único elemento no diagonal no nulo es el xy
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{xy}=-\sum_i m_i x_iy_i=-m(2b\cdot 0)-m(3b)(2b)=-6mb^2\,}
Forma matricial
Reuniendo los resultados anteriores queda la matriz
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \bar{\bar{I}}=mb^2\begin{pmatrix}4 & -6 & 0 \\ -6 & 13 & 0 \\ 0 & 0 & 17\end{pmatrix}}
También se puede calcular esta matriz directamente en lugar de elemento a elemento, partiendo de la expresión
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \bar{\bar{I}}=\sum_i m_i\begin{pmatrix} y_i^2+z_1^2 & -x_iy_i & -x_iz_i \\ -x_iy_i & x_i^2+z_i^2 & -y_iz_i \\ -x_iz_i & -y_iz_i & x_i^2+y_i^2 \end{pmatrix}}
que en este caso nos da
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \bar{\bar{I}}=mb^2\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}+mb^2\begin{pmatrix} 4 & -6 & 0 \\ -6 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 13 \end{pmatrix}=mb^2\begin{pmatrix}4 & -6 & 0 \\ -6 & 13 & 0 \\ 0 & 0 & 17\end{pmatrix}}
Ejes y momentos principales
Los momentos principales de inercia resultan de resolver el determinante
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left|\begin{matrix}4-I & -6 & 0 \\ -6 & 13-I & 0 \\ 0 & 0 & 17-I \end{matrix}\right|=0}
(donde en el resultado final habrá que multiplicar el número que salga por Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle mb^2}
). Desarrollamos el determinante
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta = (17-I)(I^2-17I+16)=0\,}
Uno de los autovalores es inmediato, Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{ZZ}=17mb^2}
. Esto era de esperar pues ya sabíamos que el eje OZ era principal. Los otros dos salen de una ecuación de segundo grado
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{XX}=mb^2 \qquad\qquad I_{YY}=16mb^2}
Para hallar cada autovector resolvemos la ecuación vectorial. Para Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{ZZ}}
es inmediato
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle mb^2\begin{pmatrix}4 & -6 & 0 \\ -6 & 13 & 0 \\ 0 & 0 & 17 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}u_x \\u_y\\ u_z\end{pmatrix}=17mb^2\begin{pmatrix}u_x \\u_y\\ u_z\end{pmatrix}}
que da el sistema
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 4u_x-6u_y=17u_x\qquad\qquad -6u_x+13u_y=17u_y \qquad\qquad 17u_z=17u_z}
con solución
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle u_x=0,\quad u_y=0\,\quad u_z=1\qquad\qquad\vec{k}_3=\vec{k}_2}
Para el autovalor Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{XX}}
operamos de la misma forma
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle mb^2\begin{pmatrix}4 & -6 & 0 \\ -6 & 13 & 0 \\ 0 & 0 & 17 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}u_x \\u_y\\ u_z\end{pmatrix}=mb^2\begin{pmatrix}u_x \\u_y\\ u_z\end{pmatrix}}
que da el sistema
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 4u_x-6u_y=u_x\qquad\qquad -6u_x+13u_y=u_y \qquad\qquad 17u_z=u_z}
con solución
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle u_x=2,\quad u_y=1\quad u_z=0\qquad\qquad\vec{\imath}_3=\frac{2}{\sqrt{5}}\vec{\imath}_2+\frac{1}{\sqrt{5}}\vec{\jmath}_2}
donde en el última paso se ha normalizado el vector.
Por último, para el autovalor Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{YY}=16mb^2}
resulta el tercer vector del triedro
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\jmath}_3=-\frac{1}{\sqrt{5}}\vec{\imath}_2+\frac{2}{\sqrt{5}}\vec{\jmath}_2}
En esta base, el tensor de inercia se escribe
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \bar{\bar{I}}=mb^2\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 0 \\ 0 & 0 & 17 \end{pmatrix}}
Momento y energía cinética
Momento cinético
Para el momento cinético no necesitamos los momentos o ejes principales (aunque en problemas de dinámica donde haya que resolver las ecuaciones de Euler si son muy útiles). Nos basta con multiplicar el tensor de inercia por la velocidad angular
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{L}_O=\bar{\bar{I}}\cdot\vec{\omega}=mb^2\begin{pmatrix}4 & -6 & 0 \\ -6 & 13 & 0 \\ 0 & 0 & 17\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}\Omega \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=mb^2\Omega\begin{pmatrix}4 \\ -6 \\ 0 \end{pmatrix}}
o, en forma vectorial,
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{L}_O=mb^2\Omega\left(4\vec{\imath}_2-6\vec{\jmath}_2\right)}
Por no ser Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OX_2}
un eje principal, el momento cinético no es paralelo a la velocidad angular.
Nótese que el momento cinético es constante en el sistema de referencia 2, ligado al sólido, pero no en el 1, fijo. A medida que el sólido gira, el vector momento cinético lo acompaña, describiendo un cono.
Energía cinética
Conocido el momento cinético, la energía cinética se calcula como
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle T=\frac{1}{2}\vec{\omega}\cdot\vec{L}_O=2mb^2\Omega}
Aquí es importante el hecho de que O es un punto fijo respecto a este movimiento. Si no fuera así la expresión sería más complicada.
Fuerza y par
Fuerza
Por la ley de Newton
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{F}=m_T\vec{a}_G}
aquí Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m_T}
es la masa total
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m_T=2m\,}
y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}_G}
es la aceleración del CM respecto a un sistema fijo.
El CM está describiendo un movimiento circular uniforme de radio Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle b}
, por lo que su aceleración es puramente normal, dirigida hacia el eje de rotación (el OX)
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}_G=-\Omega^2 b\vec{\jmath}_2}
y
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{F}_O=-2mb\Omega^2\vec{\jmath}_2}
De manera más formal y general, podemos introducir la velocidad angular relativa entre los dos sólidos (que no será otra que la de rotación)
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{21}=\Omega\vec{\imath}_1=\Omega\vec{\imath}_2}
El centro de masas está estacionario respecto al sistema de referencia 2. Por ello, su aceleración es
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}^G_{21}=\vec{a}^O_{21}+\vec{\alpha}_{21}\times \overrightarrow{OG}+\vec{\omega}_{21}\times\left(\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{OG}\right)}
El punto O es fijo, por lo que su aceleración es nula. También se anula la aceleración angular, por lo que nos queda
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y de aquí llegamos a la fuerza
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Nótese que, de nuevo, esta fuerza es constante en el sistema 2, pero en un sistema fijo la dirección de la fuerza va girando.
Momento de las fuerzas
Por ser O un punto fijo
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En este caso, el momento cinético acompaña al sólido en su rotación, de forma que en el sistema 2 es constante
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left.\frac{\mathrm{d}\vec{L}_O}{\mathrm{d}t}\right|_2=\vec{0}}
por lo que, según la fórmula de Poisson
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{M}_O=\overbrace{\left.\frac{\mathrm{d}\vec{L}_O}{\mathrm{d}t}\right|_2}^{=\vec{0}}+\vec{\omega}_{21}\times\vec{L}_O=(\Omega\vec{\imath}_1)\times \left(mb^2\Omega\left(4\vec{\imath}_1-6\vec{\jmath}_1\right)\right)=-6mb^2\Omega\vec{k}_1}
