A partir del producto escalar y del producto vectorial de dos vectores unitarios en un plano, demuestre las fórmulas trigonométricas para el coseno y el seno de la diferencia de dos ángulos:
Coseno de una diferencia
Consideremos los dos vectores y , ambos de módulo unidad, y que forman ángulos y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \beta}
con el eje X, respectivamente.
El producto escalar de los dos vectores es igual a
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{u}_1\cdot\vec{u}_2 = 1\cdot 1\cdot\cos(\beta-\alpha)}
Por otro lado, las componentes de estos vectores en la base canónica son
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{u}_2 = \cos(\beta)\vec{\imath}+\,\mathrm{sen}(\beta)\vec{\jmath}}
de forma que su producto escalar también se puede calcular como la suma de los productos de las componentes
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{u}_1\cdot\vec{u}_2 = \cos(\alpha)\cos(\beta)+\,\mathrm{sen}\,(\alpha)\,\mathrm{sen}\,(\beta)}
Igualando las dos expresiones para el producto escalar
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \cos(\beta-\alpha) = \cos(\alpha)\cos(\beta)+\,\mathrm{sen}\,(\alpha)\,\mathrm{sen}\,(\beta)}
Seno de una diferencia
Si en vez del producto escalar hallamos el producto vectorial, tenemos que el resultado es un vector en la dirección normal al plano (dada por el unitario Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{k}}
) y de módulo el producto de los módulos por el seno del ángulo que forman
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{u}_1\times\vec{u}_2 = 1\cdot 1\cdot\,\mathrm{sen}\,(\beta-\alpha)\vec{k}}
Por otro lado, operando con las componentes cartesianas en la base canónica
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{u}_1\times\vec{u}_2 = \left|\begin{matrix}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ \cos(\alpha) & \mathrm{sen}(\alpha) & 0 \\ \cos(\beta) & \mathrm{sen}(\beta) & 0\end{matrix}\right|=\left(\cos(\alpha)\,\mathrm{sen}\,(\beta)-\,\mathrm{sen}\,(\alpha)\cos(\beta)\right)\vec{k}}
Igualando las dos expresiones obtenemos
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathrm{sen}\,(\beta-\alpha) = \cos(\alpha)\,\mathrm{sen}\,(\beta)-\,\mathrm{sen}\,(\alpha)\cos(\beta)}
