Rotación de un disco inclinado

Enunciado

Un disco de radio $a=60\,\mathrm {mm}$ en cuyo eje está ensartada una barra de longitud $L=80\,\mathrm {mm}$ se halla apoyado en el extremo de la barra y en el borde del disco. El disco rueda sobre una superficie horizontal, manteniendo fija la posición del extremo de la barra. El giro es uniforme, de forma que el centro del disco completa una revolución cada $T=4\,\mathrm {s}$.

Se consideran como sólido 1 la superficie horizontal, como sólido intermedio 0 uno que gira alrededor del eje Z, de forma que la barra se encuentra permanentemente en el plano XZ y como sólido 2 el disco. En un instante dado se toman los ejes del sistema 0 y 1 coincidentes y tales que OZ es la normal al plano horizontal que pasa por O, el extremo de la barra, OX es la recta horizontal que pasa por O y por A, el punto de contacto del disco con la mesa, y OY es la normal a los otros dos ejes.

1. Determine la posición de los ejes instantáneos de rotación en los movimientos absoluto {21}, relativo {20} y de arrastre {01}.
2. Halle las velocidades de los puntos A (de contacto del disco con la mesa), B (diametralmente opuesto a A) y C (centro del disco), en los tres movimientos.
3. Calcule la aceleración de los mismos puntos.
4. Suponga que se marca un punto en el borde del disco y se analiza su movimiento a lo largo del tiempo. ¿Es éste periódico? Si es así, ¿cuál es su periodo?

Ejes instantáneos de rotación

Puesto que tenemos un punto fijo en los tres movimientos, que es el punto O de contacto de la barra con la mesa, los movimientos absoluto, relativo y de arrastre son sendas rotaciones puras, cuyos ejes instantáneos de rotación pasan por el punto O.

La orientación de cada eje la da la velocidad angular de cada movimiento.

Movimiento absoluto {21}

En el movimiento del disco respecto a la mesa tenemos dos puntos instantáneamente en reposo, el ya mencionado punto O y el punto A de contacto del disco con la mesa, por estar rodando el disco sobre la mesa. Por tanto el eje instantáneo de rotación es la recta horizontal que pasa por estos dos puntos (que hemos tomado como eje OX tanto en el sólido 0 como en el 1) y la velocidad angular de este movimiento es de la forma

${\vec {\omega }}_{21}=\omega _{21}{\vec {\imath }}$

Movimiento relativo {20}

Respecto a la barra el disco efectúa un movimiento de rotación en torno a su eje (la propia barra), por lo que el eje instantáneo de rotación es la recta que pasa por O y por C y la velocidad angular es de la forma

Velocidades

Comenzamos anotando lo que sabemos.

Por la condición de rodadura, la velocidad absoluta del punto A es nula

${\vec {v}}_{21}^{A}={\vec {0}}$

El punto C donde se unen solidariamente la barra y el disco, posee velocidad relativa nula

${\vec {v}}_{20}^{C}={\vec {0}}$

También conocemos la velocidad angular del movimiento de arrastre, ya que conocemos el periodo de revolución del disco alrededor del eje vertical

${\vec {\omega }}_{01}={\frac {2\pi }{T}}{\vec {k}}$

Asimismo, es conocida la posición instantánea de A, B y C. Aplicando semejanza de triángulos tenemos

${\overrightarrow {OA}}={\sqrt {L^{2}+a^{2}}}{\vec {\imath }}$    ${\overrightarrow {OC}}={\frac {L^{2}}{\sqrt {L^{2}+a^{2}}}}{\vec {\imath }}+{\frac {La}{\sqrt {L^{2}+a^{2}}}}{\vec {\imath }}$    ${\overrightarrow {OB}}={\frac {L^{2}-a^{2}}{\sqrt {L^{2}+a^{2}}}}{\vec {\imath }}+{\frac {2La}{\sqrt {L^{2}+a^{2}}}}{\vec {\imath }}$

que, para los datos del problema valen, en milímetros:

${\overrightarrow {OA}}=100{\vec {\imath }}$    ${\overrightarrow {OC}}=64{\vec {\imath }}+48{\vec {\imath }}$    ${\overrightarrow {OC}}=28{\vec {\imath }}+96{\vec {\imath }}$

por lo que la velocidad de arrastre de C es

${\vec {v}}_{01}^{C}={\vec {\omega }}_{01}\times {\overrightarrow {OC}}={\frac {2\pi }{T}}\,{\frac {L^{2}}{\sqrt {L^{2}-a^{2}}}}{\vec {\jmath }}$

Su velocidad absoluta será la misma por ser nula la velocidad relativa

${\vec {v}}_{21}^{C}={\vec {v}}_{20}^{C}+{\vec {v}}_{01}^{C}={\frac {2\pi }{T}}\,{\frac {L^{2}}{\sqrt {L^{2}-a^{2}}}}{\vec {\jmath }}$

Por otro lado, esta velocidad es igual a

${\vec {v}}_{21}^{C}={\vec {\omega }}_{21}\times {\overrightarrow {OC}}=\left(\omega _{21}{\vec {\imath }}\right)\times {\overrightarrow {OC}}=-{\frac {aL\omega _{21}}{\sqrt {L^{2}+a^{2}}}}{\vec {\jmath }}$

y de aquí identificamos la velocidad angular absoluta

${\vec {\omega }}_{21}=-{\frac {L}{a}}\,{\frac {2\pi }{T}}{\vec {\imath }}$

Restando obtenemos la velocidad angular relativa

${\vec {\omega }}_{20}={\vec {\omega }}_{21}-{\vec {\omega }}_{01}=-{\frac {2\pi }{aT}}\left(L{\vec {\imath }}+a{\vec {k}}\right)$

Tal como habíamos dicho, esta velocidad angular apunta en la dirección de la barra.

Por otro lado, la velocidad de arrastre del punto A es

${\vec {v}}_{01}^{A}={\vec {\omega }}_{01}\times {\overrightarrow {OA}}={\frac {2\pi }{T}}{\sqrt {L^{2}+a^{2}}}{\vec {\jmath }}$

y la relativa será igual y opuesta a esta

${\vec {v}}_{20}^{A}={\vec {v}}_{21}^{A}-{\vec {v}}_{01}^{A}=-{\frac {2\pi }{T}}{\sqrt {L^{2}+a^{2}}}{\vec {\jmath }}$

Las velocidades de arrastre, relativa y absoluta de B se obtienen del mismo modo

${\vec {v}}_{01}^{B}={\vec {\omega }}_{01}\times {\overrightarrow {OB}}={\frac {2\pi (L^{2}-a^{2})}{T{\sqrt {L^{2}+a^{2}}}}}{\vec {\jmath }}$    ${\vec {v}}_{21}^{B}={\vec {\omega }}_{21}\times {\overrightarrow {OB}}={\frac {4\pi L^{2}}{T{\sqrt {L^{2}+a^{2}}}}}{\vec {\jmath }}$    ${\vec {v}}_{20}^{B}={\vec {v}}_{21}^{B}-{\vec {v}}_{01}^{B}={\frac {2\pi {\sqrt {L^{2}-a^{2}}}}{T}}{\vec {\jmath }}$

Sustituyendo los valores numéricos obtenemos los siguientes resultados,

Movimiento	Arrastre {01}	Relativo {20}	Absoluto {21}
${\vec {\omega }}$ (1/s)	$(\pi /2){\vec {k}}$	$-(2\pi /3){\vec {\imath }}-(\pi /2){\vec {k}}$	$-(2\pi /3){\vec {\imath }}$
${\vec {v}}^{A}$ (mm/s)	$50\pi {\vec {\jmath }}$	$-50\pi {\vec {\jmath }}$	${\vec {0}}$
${\vec {v}}^{B}$ (mm/s)	$14\pi {\vec {\jmath }}$	$50\pi {\vec {\jmath }}$	$64\pi {\vec {\jmath }}$
${\vec {v}}^{C}$ (mm/s)	$32\pi {\vec {\jmath }}$	${\vec {0}}$	$32\pi {\vec {\jmath }}$

Aceleraciones

En el caso de las aceleraciones sabemos que, por girar uniformemente el disco en torno al eje OZ

${\vec {\alpha }}_{01}={\vec {0}}$

También es nula la aceleración angular relativa

${\vec {\alpha }}_{20}={\vec {0}}$

ya que el disco gira uniformemente en el sistema intermedio.

La aceleración angular absoluta, en cambio, no es nula

${\vec {\alpha }}_{21}={\vec {\alpha }}_{20}+{\vec {\alpha }}_{01}+{\vec {\omega }}_{01}\times {\vec {\omega }}_{20}=-{\frac {4\pi ^{2}L}{aT^{2}}}{\vec {\jmath }}$

Puesto que conocemos las velocidades y aceleraciones de los tres movimientos y sabemos que existe un punto fijo en los tres movimientos, podemos aplicar en todos los casos, la fórmula general del campo de aceleraciones de un sólido.

${\vec {a}}_{ik}^{P}=\overbrace {{\vec {a}}_{ik}^{O}} ^{={\vec {0}}}+{\vec {\alpha }}_{ik}\times {\overrightarrow {OP}}+{\vec {\omega }}_{ik}\times ({\vec {\omega }}_{ik}\times {\overrightarrow {OP}})$

Esto nos da los siguientes resultados:

Movimiento de arrastre

El sólido 0 efectúa una rotación uniforme alrededor del eje OZ por lo que la aceleración de todos los puntos equivale a la de un movimiento circular uniforme: radial hacia adentro de la circunferencia y de módulo igual al cuadrado de la velocidad angular multiplicada por la distancia al eje de giro.

Punto A

${\vec {a}}_{01}^{A}={\vec {\omega }}_{01}\times ({\vec {\omega }}_{01}\times {\overrightarrow {OA}})=-{\frac {4\pi ^{2}}{T^{2}}}{\sqrt {L^{2}+a^{2}}}{\vec {\imath }}$

Punto B

${\vec {a}}_{01}^{B}={\vec {\omega }}_{01}\times ({\vec {\omega }}_{01}\times {\overrightarrow {OB}})=-{\frac {4\pi ^{2}}{T^{2}}}{\frac {L^{2}-a^{2}}{\sqrt {L^{2}+a^{2}}}}{\vec {\imath }}$

Punto C

${\vec {a}}_{01}^{C}={\vec {\omega }}_{01}\times ({\vec {\omega }}_{01}\times {\overrightarrow {OC}})=-{\frac {4\pi ^{2}}{T^{2}}}{\frac {L^{2}}{\sqrt {L^{2}+a^{2}}}}{\vec {\imath }}$

Movimiento relativo

El sólido 2 también efectúa una rotación uniforme, en este caso en torno en torno a la barra. La aceleración de todos los puntos es de nuevo la de un movimiento circular uniforme: radial hacia adentro de la circunferencia y de módulo igual al cuadrado de la velocidad angular multiplicada por la distancia al eje de giro.

Punto A

${\vec {a}}_{20}^{A}={\vec {\omega }}_{20}\times ({\vec {\omega }}_{20}\times {\overrightarrow {OA}})={\frac {4\pi ^{2}}{aT^{2}}}{\sqrt {L^{2}+a^{2}}}(a{\vec {\imath }}-L{\vec {k}})$

Punto B

${\vec {a}}_{20}^{B}={\vec {\omega }}_{20}\times ({\vec {\omega }}_{20}\times {\overrightarrow {OB}})=-{\frac {4\pi ^{2}}{aT^{2}}}{\sqrt {L^{2}+a^{2}}}(a{\vec {\imath }}-L{\vec {k}})$

Punto C

${\vec {a}}_{20}^{C}={\vec {\omega }}_{20}\times ({\vec {\omega }}_{20}\times {\overrightarrow {OC}})={\vec {0}}$

Movimiento absoluto

La aceleración angular no es nula en el movimiento absoluto, por lo que ya las aceleraciones deben incluir los dos términos

Punto A

${\vec {a}}_{21}^{A}={\vec {\alpha }}_{21}\times {\overrightarrow {OA}}+{\vec {\omega }}_{21}\times ({\vec {\omega }}_{21}\times {\overrightarrow {OA}})={\frac {4\pi ^{2}L}{aT^{2}}}{\sqrt {L^{2}+a^{2}}}{\vec {k}}$

Punto B

${\vec {a}}_{21}^{B}={\vec {\alpha }}_{21}\times {\overrightarrow {OB}}+{\vec {\omega }}_{21}\times ({\vec {\omega }}_{21}\times {\overrightarrow {OB}})=-{\frac {4\pi ^{2}L}{aT^{2}{\sqrt {L^{2}+a^{2}}}}}(2La{\vec {\imath }}+(L^{2}+a^{2}){\vec {k}})$

Punto C

Esta aceleración es sencilla de calcular empleando la composición de movimientos

${\vec {a}}_{21}^{C}=\overbrace {{\vec {a}}_{20}^{C}} ^{={\vec {0}}}+{\vec {a}}_{01}^{C}+2{\vec {\omega }}_{01}\times \overbrace {{\vec {v}}_{20}^{C}} ^{={\vec {0}}}=-{\frac {4\pi ^{2}}{T^{2}}}{\frac {L^{2}}{\sqrt {L^{2}+a^{2}}}}{\vec {\imath }}$

Sustituyendo los valores numéricos obtenemos los siguientes resultados,

Movimiento	Arrastre {01}	Relativo {20}	Absoluto {21}
${\vec {\alpha }}$ (1/s²)	${\vec {0}}$	${\vec {0}}$	$-(\pi ^{2}/3){\vec {\jmath }}$
${\vec {a}}^{A}$ (mm/s²)	$-25\pi ^{2}{\vec {\imath }}$	$-25\pi ^{2}{\vec {\imath }}+(100\pi ^{2}/3){\vec {k}}$	$(100\pi ^{2}/3){\vec {k}}$
${\vec {a}}^{B}$ (mm/s²)	$-7\pi {\vec {\imath }}$	$25\pi ^{2}{\vec {\imath }}-(100\pi ^{2}/3){\vec {k}}$	$-32\pi ^{2}{\vec {\imath }}-(100\pi ^{2}/3){\vec {k}}$
${\vec {a}}^{C}$ (mm/s²)	$-16\pi {\vec {\imath }}$	${\vec {0}}$	$-16\pi {\vec {\imath }}$

Periodo del movimiento

Parecería que, dado que el disco completa una vuelta en un periodo T, el movimiento de un punto del borde será periódico con el mismo periodo. Sin embargo, no es así. El que el disco de una vuelta no quiere decir que un punto concreto vuelva a ocupar la misma posición. Es más, en general no será así.

Cuando el disco da una vuelta sobre la mesa, la circunferencia que describe tiene una longitud

$l=2\pi {\sqrt {L^{2}+a^{2}}}$

Puesto que en todo momento ha permanecido en contacto, el número de vueltas que ha dado sobre si mismo en ese tiempo es

$n={\frac {l}{2\pi a}}={\frac {\sqrt {L^{2}+a^{2}}}{a}}$

Para una longitud de la barra y un radio arbitrarios, esta cantidad será en general irracional (por ejemplo, si $a=L$ habrá dado ${\sqrt {2}}$ vueltas). Si $n$ es irracional el movimiento es aperiódico, ya que ningún múltiplo entero de $l$ producirá un múltiplo entero de $2\pi a$, así que nunca ocurrirá que un punto en concreto del borde del disco toque la mesa exactamente dos (o más) veces en el mismo sitio.

Si $n$ es racional de forma que puede escribirse como la fracción $p/q$, se cumple que

${\frac {p}{q}}={\frac {l}{2\pi a}}$ ⇒  $ql=p(2\pi a)\,$

Esto quiere decir que cuando el disco da $q$ vueltas alrededor del eje vertical, da $p$ vueltas sobre sí mismo. En este caso el movimiento sí es periódico y su periodo será $qT$ siendo T el periodo de una vuelta del disco alrededor del eje.

En nuestro caso

$n={\frac {\sqrt {80^{2}+60^{2}}}{60}}={\frac {5}{3}}$

lo que quiere decir que en 3 vueltas alrededor del eje, el disco da 5 alrededor de la barra, con lo que el periodo será

$T_{A}=3T=12\,\mathrm {s}$