Péndulo doble (CMR)

Enunciado

Se tiene un péndulo doble plano. Está formado por una varilla rígida OA de masa despreciable y longitud Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \ell=25\,\mathrm{cm}} articulada en O y en cuyo extremo A se encuentra una masa Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m_A=1.6\,\mathrm{kg}} . En A se halla articulada una segunda varilla AB, de masa también despreciable, de la misma longitud math>\ell=25\,\mathrm{cm}</math> y en cuyo extremo B se encuentra una segunda masa de valor Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m_B=0.9\,\mathrm{kg}} . Tómese Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle g = 10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^2} .

1. Determine las ecuaciones de movimiento para los ángulos Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \phi} , queg forma OA con la vertical, y θ que forma AB con la prolongación de OA. Sugerencia: empléense los cálculos del problema “Dos barras articuladas”
2. Suponiendo que las dos varillas realizan oscilaciones muy próximas a la vetical, de manera que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \phi,\theta\ll 1} , calcule las frecuencias de los modos normales de oscilación. ¿Cómo oscilan las varillas en cada uno de los modos normales.
3. Imaginemos que, estando las varillas en reposo, se sujeta la masa A con OA vertical. La varilla AB se coloca con una inclinación de 10º con respecto a la vertical. Entonces, se sueltan las dos masas. ¿Cómo es el movimiento posterior de cada una de ellas?

Ecuaciones de movimiento

Para la masa A

Siguiendo los cálculos y la notación del problema “Dos barras articuladas” la segunda ley de Newton para la partícula A es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m_A \vec{a}^A_{21}=\vec{F}_{T1}-\vec{F}_{T2}+m_A\vec{g}}

siendo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{F}_{T1}} la tensión de la varilla OA, que va dirigida a lo largo de la propia varilla

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{F}_{T1}=-F_{T1}\vec{\imath}_2}

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{F}_{T2}} la tensión de la varilla AB. En el extremo B tira hacia a A y en el extremo A tira hacia B.

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{F}_{T2}=-F_{T2}\vec{\imath}_3}

Por su parte, el peso va en la dirección del eje OX positivo

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m_A\vec{g}=m_A g\vec{\imath}_1}

La aceleración de A, tal como se ve en el problema mencionado, es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}^A_{21}=-\ell\dot{\phi}^2\vec{\imath}_2+\ell\ddot{\phi}\vec{\jmath}_2}

Todo esto nos da la ecuación

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle -m_A\ell\dot{\phi}^2\vec{\imath}_2+m_A\ell\ddot{\phi}\vec{\jmath}_2=-F_{T1}\vec{\imath}_2+F_{T2}\vec{\imath}_3+m_Ag\vec{\imath}_1}

Para la masa B

La segunda ley de Newton en este caso es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m_B \vec{a}^B_{31}=-F_{T2}\vec{\imath}_3+m_Bg\vec{\imath}_1}

siendo la aceleración de B

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}^B_{31}=-\ell\dot{\phi}^2\vec{\imath}_2+\ell\ddot{\phi}\vec{\jmath}_2-\ell(\dot{\phi}+\dot{\theta})^2\vec{\imath}_3+\ell(\ddot{\phi}+\ddot{\theta})\vec{\jmath}_3}

lo que nos da la ecuación de movimiento

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle -m_B\ell\dot{\phi}^2\vec{\imath}_2+m_B\ell\ddot{\phi}\vec{\jmath}_2-m_B\ell(\dot{\phi}+\dot{\theta})^2\vec{\imath}_3+m_B\ell(\ddot{\phi}+\ddot{\theta})\vec{\jmath}_3=F_{T2}\vec{\imath}_3+m_Bg\vec{\imath}_1}

Para los ángulos

En las ecuaciones anteriores podemos eliminar las tensiones, que son cantidades desconocidas, proyectando en las direcciones ortogonales. Así, en la ecuación de movimiento para B multiplicamos escalarmente por Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\jmath}_3} y resulta

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m_B\ell\dot{\phi}^2\mathrm{sen}(\theta)+m_B\ell\ddot{\phi}\cos(\theta)+m_B\ell(\ddot{\phi}+\ddot{\theta})=-m_Bg\,\mathrm{sen}(\theta+\phi)}

Los productos escalares entre los vectores de las diferentes bases se deducen en el problema de cinemática ya citado.

Para eliminar la tensión de la varilla OA primero sumamos las dos ecuaciones de movimiento. De esta forma se elimina la tensión de la varilla AB, que es una fuerza interna, y queda

$-(m_{A}+m_{B})\ell {\dot {\phi }}^{2}{\vec {\imath }}_{2}+(m_{A}+m_{B})\ell {\ddot {\phi }}{\vec {\jmath }}_{2}-m_{B}\ell ({\dot {\phi }}+{\dot {\theta }})^{2}{\vec {\imath }}_{3}+m_{B}\ell ({\ddot {\phi }}+{\ddot {\theta }}){\vec {\jmath }}_{3}=-F_{T1}{\vec {\imath }}_{2}+(m_{A}+m_{B})g{\vec {\imath }}_{1}$

Si aquí multiplicamos escalarmente por ${\vec {\jmath }}_{2}$ resulta

$(m_{A}+m_{B})\ell {\ddot {\phi }}-m_{B}\ell ({\dot {\phi }}-{\dot {\theta }})^{2}\mathrm {sen} (\theta )+m_{B}\ell ({\ddot {\phi }}+{\ddot {\theta }})\cos(\theta )=-(m_{A}+m_{B})g\,\mathrm {sen} (\phi )$

Podemos escribir estas ecuaciones de una manera menos engorrosa definiendo los parámetros

$\Omega ={\sqrt {\frac {g}{\ell }}}\qquad \qquad \gamma ={\frac {m_{B}}{m_{A}}}$

y resulta el sistema

${\dot {\phi }}^{2}\mathrm {sen} (\theta )+{\ddot {\phi }}\cos(\theta )+({\ddot {\phi }}+{\ddot {\theta }})=-\Omega ^{2}\,\mathrm {sen} (\theta +\phi )$

y

$(1+\gamma ){\ddot {\phi }}-\gamma ({\dot {\phi }}-{\dot {\theta }})^{2}\mathrm {sen} (\theta )+\gamma ({\ddot {\phi }}+{\ddot {\theta }})\cos(\theta )=-\Omega ^{2}(1+\gamma )\mathrm {sen} (\phi )$

Aproximación para ángulos pequeños

Sistema de ecuaciones

El sistema de ecuaciones general para cualquier valor de los ángulos y las masas no posee solución analítica y es preciso recurrir a métodos numéricos para obtener la solución en casos particulares.

Si los ángulos de desviación respecto a la vertical son pequeños, podemos hacer la llamada aproximación lineal, en la cual se desprecian las potencias de grado superior al primero.

En la misma aproximación

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathrm{sen}(\alpha)\simeq \alpha\qquad\qquad \cos(\alpha)\simeq 1}

En ese caso, la primera de las dos ecuaciones se aproxima por

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 2\ddot{\phi}+\ddot{\theta}=-\Omega^2\,(\theta+\phi)}

y la segunda

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (1+2\gamma)\ddot{\phi}+\gamma\ddot{\theta}=-\Omega^2(1+\gamma) \phi}

En estas ecuaciones podemos despejar las aceleraciones angulares y queda

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{rcl} \ddot{\phi}&=&\Omega^2 (-\phi+\gamma\theta)\\ \ddot{\theta}&=&\Omega^2(\phi-(1+2\gamma)\theta) \end{array}}

o, en forma matricial,

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\begin{pmatrix}\phi\\ \theta\end{pmatrix}=\Omega^2 \begin{pmatrix} -1 & \gamma \\ 1 & -(1+2\gamma)\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}\phi\\ \theta\end{pmatrix}}

Modos normales

Este es un sistema de ecuaciones que se puede resolver mediante la búsqueda de sus modos normales. Se trata de buscar soluciones exponenciales

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{pmatrix}\phi\\ \theta\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\hat{\phi}\\ \hat{\theta}\end{pmatrix}\mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega t}}

La solución general es una combinación lineal de todos los modos normales posibles.

Sustituyendo esta solución en el sistema de ecuaciones diferenciales queda la ecuación algebraica

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{pmatrix} \Omega^2-\omega^2 & -\gamma \Omega^2\\ -\Omega^2 & (1+2\gamma)\Omega^2-\omega^2\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}\hat{\phi}\\ \hat{\theta}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\ 0\end{pmatrix}}

Para que este sistema tenga solución no trivial debe anularse el determinante

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left|\begin{matrix} \Omega^2-\omega^2 & -\gamma \Omega^2\\ -\Omega^2 & (1+2\gamma)\Omega^2-\omega^2\end{matrix}\right|=0}

Esto nos da la ecuación de cuarto grado

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \omega^4 -2(1+\gamma)\Omega^2\omega^2+(1+\gamma)\Omega^4 = 0\,}

Esta ecuación es, en realidad, una ecuación de segundo frado en ω², con soluciones

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \omega^2 = \Omega^2 \left(1+\gamma\pm\sqrt{\gamma(1+\gamma)}\right)}

Se puede hallar una solución general, para cualquier valor de Ω y γ. Sin embargo, ello implica el uso de numerosas raíces cuadradas. Por ello, aquí sustituiremos los valores numéricos del problema, que no son casuales, sino elegidos para que resulte una solución simple.

Empleando las unidades fundamentales del sistema internacional (kg,m y s)

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Omega^2 = \frac{g}{\ell}=\frac{10}{0.25}=40\qquad\qquad \gamma = \frac{0.9}{1.6}=\frac{9}{16}}

lo que nos da las frecuencias

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \omega^2=40\left(\frac{25}{16}\pm\frac{15}{16}\right)\qquad\Rightarrow\qquad \omega^2 = 100,25\qquad\Rightarrow\qquad \omega = \pm 10,\pm 5}

Caso ω²=100

Las amplitudes de la oscilación son las soluciones de la ecuación

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{pmatrix} \Omega^2-\omega^2 & -\gamma \Omega^2\\ -\Omega^2 & (1+2\gamma)\Omega^2-\omega^2\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}\hat{\phi}\\ \hat{\theta}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\ 0\end{pmatrix}}

Sustituímos los valores numéricos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{pmatrix} -60 & -45/2\\ -40 & 15\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}\hat{\phi}\\ \hat{\theta}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\ 0\end{pmatrix}}

Esta ecuación tiene infinitas soluciones, ya que el sistema es indeterminado. Una de ellas es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \hat{\phi}=-3\qquad\qquad \hat{\theta}=8}

Por tanto, las dos primeras soluciones de la ecuación diferencial son

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Caso ω²=25

Sustituímos los valores numéricos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{pmatrix} 15 & -45/2\\ -40 & 60\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}\hat{\phi}\\ \hat{\theta}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\ 0\end{pmatrix}}

Una de las infinitas soluciones es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \hat{\phi}=3\qquad\qquad \hat{\theta}=2}

Por tanto, la tercera y cuarta soluciones de la ecuación diferencial son

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{pmatrix}\phi\\ \theta\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3\\ 2\end{pmatrix}\mathrm{e}^{5\mathrm{j}t}\qquad\qquad \begin{pmatrix}\phi\\ \theta\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3\\ 2\end{pmatrix}\mathrm{e}^{-5\mathrm{j}t}}

Solución general

Combinando las dos soluciones anteriores queda la solución general

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{pmatrix}\phi\\ \theta\end{pmatrix} = c_1 \begin{pmatrix}-3\\ 8\end{pmatrix}\mathrm{e}^{10\mathrm{j}t}+c_2\begin{pmatrix}-3\\ 8\end{pmatrix}\mathrm{e}^{-10\mathrm{j}t}+c_3\begin{pmatrix}3\\ 2\end{pmatrix}\mathrm{e}^{5\mathrm{j}t}+c_4\begin{pmatrix}3\\ 2\end{pmatrix}\mathrm{e}^{-5\mathrm{j}t}}

siendo sus derivadas respecyo al tiempo

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{pmatrix}\dot{\phi}\\ \dot{\theta}\end{pmatrix} = 10\mathrm{j}c_1 \begin{pmatrix}-3\\ 8\end{pmatrix}\mathrm{e}^{10\mathrm{j}t}-10\mathrm{j}c_2\begin{pmatrix}-3\\ 8\end{pmatrix}\mathrm{e}^{-10\mathrm{j}t}+5\mathrm{j}c_3\begin{pmatrix}3\\ 2\end{pmatrix}\mathrm{e}^{5\mathrm{j}t}-5\mathrm{j}c_4\begin{pmatrix}3\\ 2\end{pmatrix}\mathrm{e}^{-5\mathrm{j}t}}

Solución particular

Como caso particular nos dan las condiciones iniciales

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \phi_0=0\qquad\qquad \theta_0=10^\circ\qquad\qquad \dot{\phi}_0=0\qquad\qquad \dot{\theta}_0=0}

Imponemos estas condiciones haciendo t = 0 en la solución general. Queda

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{pmatrix}0\\ 10^\circ\end{pmatrix} = c_1 \begin{pmatrix}-3\\ 8\end{pmatrix}+c_2\begin{pmatrix}-3\\ 8\end{pmatrix}+c_3\begin{pmatrix}3\\ 2\end{pmatrix}+c_4\begin{pmatrix}3\\ 2\end{pmatrix}}

y

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{pmatrix}0\\ 0\end{pmatrix} = 10\mathrm{j}c_1 \begin{pmatrix}-3\\ 8\end{pmatrix}-10\mathrm{j}c_2\begin{pmatrix}-3\\ 8\end{pmatrix}+5\mathrm{j}c_3\begin{pmatrix}3\\ 2\end{pmatrix}-5\mathrm{j}c_4\begin{pmatrix}3\\ 2\end{pmatrix}}

Desarrollando el sistema y resolviendo para los coeficientes queda

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle c_1=c_2=c_3=c_4=0.5^\circ\,}

Por tano, la solución dependiente del tiempo es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{pmatrix}\phi\\ \theta\end{pmatrix} = 0.5 \begin{pmatrix}-3\\ 8\end{pmatrix}\mathrm{e}^{10\mathrm{j}t}+0.5\begin{pmatrix}-3\\ 8\end{pmatrix}\mathrm{e}^{-10\mathrm{j}t}+0.5\begin{pmatrix}3\\ 2\end{pmatrix}\mathrm{e}^{5\mathrm{j}t}+0.5\begin{pmatrix}3\\ 2\end{pmatrix}\mathrm{e}^{-5\mathrm{j}t}}

Si igualamos componente a componente y aplicamos la fórmula de Euler queda, finalmente

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \phi=-3 \cos(10t)+3\cos(5t)\qquad\qquad \theta=8\cos(10t)+2\cos(10t)}