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Problemas de energía y leyes de conservación (GIOI)

De Laplace

Contenido

1 Conservación en un movimiento rectilíneo y uniforme

Una partícula de masa m describe el movimiento rectilíneo y uniforme

\vec{r}=\vec{r}_0+\vec{v}_0t

Demuestre que su cantidad de movimiento, su momento cinético respecto al origen de coordenadas y su energía cinética permanecen constantes. Halle el valor de estas tres cantidades.

Solución

2 Leyes de conservación en polares y cilíndricas

Una partícula de masa m describe el movimiento expresado en cilíndricas

\rho = A\qquad\qquad \varphi = \omega t\qquad\qquad z = v_0t

Determine si se conserva la cantidad de movimiento, el momento cinético respecto al origen de coordenadas y la energía cinética. En su caso, halle el valor de las constantes.

Solución

3 Trabajo en una semicircunferencia

Calcule el trabajo realizado por la gravedad cuando una partícula de masa m que pasa de estar a una altura 2R a estar al nivel del suelo (a) si el movimiento es una recta vertical (b) Desciende a lo largo de una semicircunferencia de radio R.

Solución

4 Trabajo por rozamiento

Calcule igualmente el trabajo realizado por la fuerza de rozamiento seco sobre una masa m que se hace deslizar por una mesa horizontal con la cual tiene un coeficiente de rozamiento μ, si (a) el movimiento es a largo de un segmento de longitud 2R, (b) el deslizamiento es a largo de una semicircunferencia de radio R.

Solución

5 Conservación en un oscilador armónico tridimensional

Una partícula de masa m=0.50\,\mathrm{kg} se encuentra sometida exclusivamente a una fuerza que satisface la ley de Hooke

\vec{F}=-k\vec{r}\qquad\qquad k = 2.00\,\mathrm{N}/\mathrm{m}

siendo su posición y velocidad iniciales

\vec{r}_0 = (-12.0\,\vec{\imath}+11.0\vec{\jmath})\,\mathrm{m}\qquad \qquad \vec{v}_0=(-8.0\vec{\imath}+24.0\,\vec{\jmath})\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}
  1. Calcule el momento cinético de la partícula respecto al origen de coordenadas
  2. Halle la energía mecánica de la partícula
  3. Determine las distancias máxima y mínima a las que pasa del origen, así como la rapidez mínima que alcanza

Solución

6 Rapidez y tensión de un péndulo

Empleando la ley de conservación de la energía, determine la velocidad con la que un péndulo simple de masa m y longitud L pasa por su punto más bajo, como función del ángulo máximo θ0 con el que se separa de la vertical.

Compare este resultado con el que se obtiene empleando la aproximación lineal. Determine el error relativo cometido con esta aproximación para \theta_0=10^\circ, \theta_0=20^\circ,… \theta_0=90^\circ

Determine la tensión de la cuerda en el punto más bajo y en el punto de máxima separación de la vertical. en función del ángulo θ0

Solución

7 Energía en el salto desde un puente

Haciendo puenting (bungee jumping en inglés), Alberto, de 75 kg, se deja caer desde el pretil de un puente situado a 70 m de altura sobre un río empleando una cuerda elástica de 30 m.

  1. Determine la constante elástica k que debe tener la cuerda para que Alberto llegue a rozar el agua del río.
  2. Si, empleando la misma goma, se deja caer Benito, de 90 kg, ¿con qué rapidez impactará con el agua? ¿Cuánta cuerda debería recoger si quiere llegar él también rozando al agua?

Solución

8 Anilla ensartada en un aro

Se tiene un aro circular de radio R situado verticalmente. Determine la velocidad que debe comunicarse a una partícula de masa m situada en el punto más bajo del aro para que sea capaz de llegar hasta el punto más alto si la partícula es:

  1. Una anilla ensartada en el aro
  2. Una bolita que desliza por el interior del aro, sin estar unida a él.

Calcule la reacción que ejerce el aro sobre la partícula en el punto más bajo y en el más alto, para los dos casos anteriores. Desprecie el rozamiento en todos los casos.

Solución

9 Partícula que se despega de esfera

Una partícula de masa m se encuentra en lo alto de una cúpula hemisférica de radio R, sobre la cual la masa puede deslizar sin rozamiento. La semiesfera está rígidamente unida a una superficie horizontal. La masa está sometida a la acción del peso. Estando en esta posición se le comunica una velocidad horizontal de rapidez v0

  1. Supóngase en primer lugar que v0 = 0
    1. Determine el punto de la esfera en el que la partícula se despega de ella.
    2. ¿Qué rapidez tiene la partícula en el momento en que impacta con el suelo?
  2. Supongamos ahora una cierta rapidez inicial v0.
    1. Determine el punto en el que la masa despega de la superficie esférica, dando el ángulo θ que el vector de posición relativa al centro de la esfera forma con la vertical.
    2. ¿Cuál es el valor mínimo de v0 para que la partícula despegue directamente de la superficie, sin deslizar sobre ella?
    3. Para este valor mínimo de v0 determine la distancia al centro de la semiesfera del punto de la superficie horizontal en el que impacta la partícula.

Solución

10 Velocidad de escape

Se define la velocidad de escape de un campo gravitatorio como aquella que permite llegar al infinito con velocidad nula. Sabiendo que la energía potencial gravitatoria tiene la expresión

U(\vec{r})=-\frac{GMm}{|\vec{r}|}
  1. Determine la velocidad de escape que debe tener un cuerpo para salir de un campo gravitatorio hacia el espacio exterior si inicialmente se encuentra a una distancia R del centro del planeta.
  2. Halle los valores numéricos para el caso de la superficie terrestre, la lunar y la marciana. Calcule asimismo el valor para el caso de un satélite situado a la misma distancia del Sol que la Tierra y que desea escapar del campo gravitatorio de aquél.
  3. Determine el radio que debería tener el Sol para que ni la luz pudiera escapar de él.

Solución

11 Disipación de energía en un plano inclinado

Un bloque de 500 g se encuentra en lo alto de un plano inclinado de 120 cm de altura y una pendiente del 75%. En el extremo inferior del plano se encuentra un resorte que hace rebotar a la masa elásticamente (sale con la misma rapidez con la que llega). Se suelta la masa, dejándola deslizarse por el plano.

  1. Suponga que no hay rozamiento entre la masa y el plano. ¿Con qué rapidez llega al punto más bajo? ¿Hasta que altura vuelve a subir tras rebotar en el resorte?
  2. Suponga ahora un coeficiente de rozamiento (estático y dinámico) μ = 0.25
    1. ¿Cuál es la rapidez al llegar al punto más bajo del plano?
    2. ¿Cuánta energía se ha disipado en el descenso?
    3. ¿Hasta que altura vuelve a ascender tras el rebote? ¿Cuánta energía se disipa en el ascenso?
    4. Represente el comportamiento del bloque en una curva de potencial, empleando como energía potencial la gravitatoria.
Archivo:disipacion-masa-plano.png

Solución

12 Masa con resorte en plano inclinado

Un bloque de peso mg=40\,\mathrm{N} se encuentra sobre un plano inclinado de altura h=1.2\,\mathrm{m} y pendiente del 75%. El bloque se encuentra atado al punto superior del plano por un resorte de constante k=30\,\mathrm{N}/\mathrm{m} y longitud natural l_0=20\,\mathrm{cm}. Para hacer el estudio se considera el sistema de ejes indicado en la figura.

  1. Suponiendo que no existe rozamiento entre el bloque y el plano, determine la distancia xeq a la que la masa se queda en equilibrio.
  2. Suponga que inicialmente el bloque se encuentra sujeto a una distancia igual a la longitud natural del resorte y en ese momento se suelta. ¿Cuánto vale su rapidez cuando pasa por la distancia de equilibrio xeq? ¿Cuál es la distancia máxima xmax a la que llega el bloque?
  3. Suponga ahora que existe un coeficiente de rozamiento estático μ = 0.25 entre el bloque y el plano. ¿Entre qué valores de x puede situarse la masa en reposo, quedándose en equilibrio?

Solución

13 Potencia de un automóvil

El rozamiento que experimenta un automóvil en movimiento rectilíneo depende de múltiples factores y en un determinado rango de velocidades entre 90 km/h y 130 km/h puede suponerse que la fuerza de rozamiento es lineal con la velocidad F = − (A + Bv). Supongamos un automóvil de 1500 kg que marcha por una carretera horizontal. Se conoce que la potencia que desarrolla para vencer la fricción es de 20 kW (26.8 CV) a 90 km/h y de 35 kW (46.9 CV) a 126 km/h

  1. Demuestre detalladamente que A=300\,\mathrm{N} y que B=20\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}.
  2. Supongamos que este coche debe ascender una pendiente del 6% (medida como la tangente del ángulo). ¿Qué potencia debe desarrollar a 90 km/h? ¿Y a 108 km/h?
  3. Si el coche desciende por una cierta pendiente del 6%, ¿a qué velocidad de descenso no es necesario ni acelerar ni frenar el coche?
  4. Supongamos que se acelera el coche uniformemente desde 90 km/h a 126 km/h empleando para ello una distancia de 500 m, ¿qué aceleración tiene el coche? ¿Cuánto es el trabajo total realizado sobre él en este incremento de velocidad? ¿Qué trabajo realiza el motor del coche en este incremento de velocidad?

Tómese g=10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^2

Solución

14 Equilibrios de un péndulo

Trace la curva de energía potencial para un péndulo rígido de longitud L del que cuelga una masa m, en función del ángulo θ con el que se separa de la vertical. Suponga que el punto más bajo corresponda a U = 0. A la vista de la curva,

  1. ¿Qué puntos de equilibrio existen? ¿Son estables o inestables?
  2. ¿Cómo es el movimiento si la energía mecánica vale mgL? ¿Y si vale 3mgL?

Solución

15 Energía de un resorte con rozamiento

El problema “Resorte con rozamiento seco” puede analizarse de forma sencilla empleando el análisis de la energía mecánica. Es decir, se tiene una masa m=5.00\,\mathrm{kg} atada a un resorte de constante k=10.0\,\mathrm{N}/\mathrm{m} y longitud en reposo l_0=150\,\mathrm{mm}. La masa reposa sobre una superficie horizontal sobre la que existe un pequeño coeficiente de rozamiento μ = 0.10. El muelle se comprime una cantidad b=50\,\mathrm{mm} respecto a su posición de equilibrio.

  1. Ignorando previamente el rozamiento, trace la curva de energía potencial e indique como se representa en esta gráfica el movimiento sin rozamiento, para la misma condición inicial.
  2. Suponga ahora la presencia de rozamiento. ¿Qué trabajo realiza esta fuerza desde la posición inicial hasta que la partícula llega a una cierta posición x? Desde el punto de vista de la energía mecánica, ¿cómo varía esta con x? ¿Cómo se representa esta variación en la curva de potencial del apartado anterior? ¿En qué punto se detiene la partícula?
  3. Una vez que la partícula comienza el movimiento de retroceso, ¿para donde apunta la fuerza de rozamiento? ¿qué trabajo realiza como función de la posición? ¿Cómo queda la gráfica de la energía mecánica?
  4. ¿Cómo quedan gráficamente los sucesivos rebotes?
  5. ¿En qué momento se detiene la partícula? ¿Cómo se expresa esa condición gráficamente?
Archivo:resorte-pared-rozamiento.png

Solución

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