Plano inclinado bidimensional, Noviembre 2013 (G.I.C.)

Enunciado

Una partícula de masa $m$ desliza sin rozamiento sobre un plano inclinado un ángulo $\alpha$ sobre la horizontal. La partícula parte desde el origen con una velocidad paralela a la base del plano y módulo $v_{0}$, como se indica en la figura.

1. Dibuja el diagrama de cuerpo libre de la partícula.
2. Determina la velocidad de la partícula en cada instante.
3. Determina la posición de la partícula en cada instante.
4. Calcula el tiempo que tarda en llegar a la base del plano inclinado.
5. ¿Qué tipo de curva describe la partícula?

Solución

Diagrama de fuerzas

Las fuerzas que actúan sobre la partícula son el peso y la fuerza de reacción vincular del plano. Esta fuerza es perpendicular al plano, pues no hay rozamiento. La figura a la derecha muestra estas fuerzas.

Velocidad de la partícula

Para determinar la velocidad hemos de calcular la aceleración de la partícula en cada instante. Para ellos expresamos las fuerzas en los ejes de la figura anterior. Tenemos

${\begin{array}{l}{\vec {P}}=m{\vec {g}}=mg\,\mathrm {sen} \,\alpha \,{\vec {\imath }}-mg\cos \alpha \,{\vec {j}}\\\\{\vec {\Phi }}=\Phi \,{\vec {\jmath }}\end{array}}$

Coma la partícula no se separa del plano la velocidad no tiene componente en el eje $Y$, pero sí puede tenerla en el eje $Z$ que se muestra en la figura del enunciado. Por tanto la velocidad en cada instante es de la forma

${\vec {v}}(t)=v_{x}(t)\,{\vec {\imath }}+v_{z}(t)\,{\vec {k}}$

Derivando respecto al tiempo obtenemos la aceleración

${\vec {a}}(t)=a_{x}(t)\,{\vec {\imath }}+a_{z}(t)\,{\vec {k}}$

Ahora podemos aplicar la Segunda Ley de Newton

$m{\vec {a}}=m{\vec {g}}+{\vec {\Phi }}$

Esta ecuación vectorial implica tres ecuaciones escalares

${\begin{array}{llcl}(X):&\quad ma_{x}=mg\,\mathrm {sen} \,\alpha &\to &a_{x}=g\,\mathrm {sen} \,\alpha \\&&\\(Y):&\quad 0=\Phi -mg\cos \alpha &\to &\Phi =mg\cos \alpha \\&&\\(Z):&\quad ma_{z}=0&\to &a_{z}=0\end{array}}$

Así pues la aceleración de la partícula en cada instante es constante e igual a

${\vec {a}}=g\,\mathrm {sen} \,\alpha \,{\vec {\imath }}$

Una vez que tenemos la aceleración podemos calcular la velocidad integrando en el tiempo

${\vec {a}}={\dfrac {\mathrm {d} {\vec {v}}}{\mathrm {d} t}}\to \left\{{\begin{array}{l}v_{x}(t)=v_{x}(0)+\int \limits _{0}^{t}a_{x}\,\mathrm {d} t\\v_{y}(t)=v_{y}(0)+\int \limits _{0}^{t}a_{y}\,\mathrm {d} t\\v_{z}(t)=v_{z}(0)+\int \limits _{0}^{t}a_{z}\,\mathrm {d} t\end{array}}\right.$

Las componentes de la aceleración son cero en las direcciones $Y$ y $Z$ y constante en la dirección $X$. Por otro lado la velocidad inicial es

${\vec {v}}(0)=0\,{\vec {\imath }}+0\,{\vec {\jmath }}+v_{0}\,{\vec {k}}$

Con todo esto la velocidad en función del tiempo es

${\vec {v}}(t)=g\,\mathrm {sen} \,\alpha \,t\,{\vec {\imath }}+v_{0}\,{\vec {k}}$

El resultado es exactamente igual al del tiro parabólico, pero con una aceleración atenuada por la presencia del plano inclinado.

Posición

Integrando la velocidad obtenemos la posición de la partícula en función del tiempo

${\vec {v}}={\dfrac {\mathrm {d} {\vec {r}}}{\mathrm {d} t}}\to \left\{{\begin{array}{l}r_{x}(t)=r_{x}(0)+\int \limits _{0}^{t}v_{x}\,\mathrm {d} t\\r_{y}(t)=r_{y}(0)+\int \limits _{0}^{t}v_{y}\,\mathrm {d} t\\r_{z}(t)=r_{z}(0)+\int \limits _{0}^{t}v_{z}\,\mathrm {d} t\end{array}}\right.$

La partícula parte del origen, por lo que la posición inicial es

${\vec {r}}(0)=0\,{\vec {\imath }}+0\,{\vec {\jmath }}+0\,{\vec {k}}$

Integrando obtenemos

${\vec {r}}(t)={\dfrac {1}{2}}g\,\mathrm {sen} \,\alpha \,t^{2}\,{\vec {\imath }}+v_{0}t\,{\vec {k}}$

Tiempo en llegar a la base del plano

Cuando la partícula llegue a la base del plano su coordenada $X$ valdrá

$x_{f}={\dfrac {L}{\cos \alpha }}$

De la componente $X$ del vector de posición obtenemos el tiempo de llegada

${\dfrac {1}{2}}g\,\mathrm {sen} \,\alpha \,t_{f}^{2}={\dfrac {L}{\cos \alpha }}\Longrightarrow t_{f}={\sqrt {\dfrac {2L}{g\,\mathrm {sen} \,\alpha \cos \alpha }}}$

Curva descrita

El movimiento de la partícula es una superposición de un movimiento uniforme sobre el eje $Z$ y un movimiento uniformemente acelerado sobre el eje $X$. Es un tiro parabólico, y la curva descrita es una parábola.