Entrar Página Discusión Historial Go to the site toolbox

Placa cuadrada pivotando conectada a un muelle, Sept 2017 (G.I.C.)

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Una placa cuadrada homogénea de masa m y lado 2L se apoya sobre uno de sus extremos, el punto O de la figura. Este vértice de la placa no se mueve nunca. Un muelle de constante elástica k y longitud natural l0 = L está conectado a un punto D del lado OA de la placa. El otro extremo del muelle está en el eje OX, de modo que el muelle es siempre vertical. La gravedad actúa como se indica en la figura. La masa de la placa es tal que mg = kL.

  1. Dibuja el diagrama de cuerpo libre del sólido rígido.
  2. Encuentra las expresiones de las fuerzas que actúan sobre la placa.
  3. Si tenemos β = π / 3, encuentra el valor de l para el que la placa está en equlibrio.
  4. Suponiendo que β = π / 4, calcula el par de fuerzas que habría que aplicar sobre la placa para que esté en equilibrio cuando el punto D coincide con el A (el muelle siempre está vertical). Encuentra también el valor de las fuerzas vinculares en esta situación.

2 Solución

2.1 Diagrama de cuerpo libre y expresiones de las fuerzas

El diagrama de la derecha muestra las tres fuerzas que actúan sobre la placa: el peso, la fuerza del muelle y la fuerza vincular en O. La expresión de estas fuerzas es


\begin{array}{l}
m\vec{g} = -mg\,\vec{\jmath}= -kL\,\vec{\jmath} \\
\vec{F}_k = -k(l\,\mathrm{sen}\,\beta - L)\,\vec{\jmath}\\
\vec{\Phi}^O_{k} = O_x\,\vec{\imath} + O_y\,\vec{\jmath} + O_z\,\vec{k}
\end{array}

La fuerza vincular tiene tres componentes no nulas a priori pues el punto O no puede moverse. Hemos usado que, según el enunciado, mg = kL.

2.2 Equilibrio con β = π / 3

Las condiciones de equilibrio son fuerza neta nula y momento de fuerzas respecto a cualquier punto nulo. De la primera condición obtenemos


m\vec{g} + \vec{F}_k + \vec{\Phi}^O=0
\Longrightarrow
\left\{
\begin{array}{lcl}
(X) & \to & O_x = 0\\
(Y) & \to & O_y - kl\,\mathrm{sen}\,\beta = 0\\
(Z) & \to & O_z=0
\end{array}
\right.

Calculamos los momentos de las fuerzas respecto a O:


\vec{M}^O = \overrightarrow{OG}\times(m\vec{g}) + \overrightarrow{OD}\times\vec{F}_k

La fuerza vincular no ejerce momento respecto a O. Tenemos


\overrightarrow{OG} = \overrightarrow{OE} + \overrightarrow{EG}

De la figura vemos que


\begin{array}{l}
\overrightarrow{OE} = L\cos\beta\,\vec{\imath} + L\,\mathrm{sen}\,\beta\,\vec{\jmath}
\\
\overrightarrow{EG} = -L\,\mathrm{sen}\,\beta\,\vec{\imath} + L\cos\beta\,\vec{\jmath}
\\
\overrightarrow{OD} = l\cos\beta\,\vec{\imath} + l\,\mathrm{sen}\,\beta\,\vec{\jmath}
\end{array}

Por tanto


\begin{array}{l}
\overrightarrow{OG}\times(m\vec{g}) = -kL^2(\cos\beta-\,\mathrm{sen}\,\beta)\,\vec{k}
\\
\overrightarrow{OA}\times\vec{F}_k = -kl\cos\beta\,(l\,\mathrm{sen}\,\beta - L)\,\vec{k}


\end{array}

Imponiendo la condición de equilibrio \vec{M}_O=\vec{0} obtenemos la ecuación


l^2\cos\beta\,\mathrm{sen}\,\beta - l\,L\cos\beta + L^2(\cos\beta-\mathrm{sen}\,\beta) = 0

En el caso β = π / 3 tenemos


\cos\beta = 1/2, \qquad \mathrm{sen}\,\beta=\sqrt{3}/2

Resolviendo la ecuación de segundo grado, nos quedamos con la solución positiva


l = 1.66\,L

La fuerza vincular es


\vec{\Phi}^O = 1.44 kL \,\vec{\jmath}

2.3 Par de fuerzas cuando el muelle está en A y β = π / 4

Ahora hay que añadir un par de fuerzas externo en la condición de momento nulo. Tenemos


\vec{\tau} + \overrightarrow{OG}\times(m\vec{g}) + \overrightarrow{OA}\times\vec{F}_k = 0
\Longrightarrow
\vec{\tau} = - \overrightarrow{OG}\times(m\vec{g}) - \overrightarrow{OA}\times\vec{F}_k

Cuando β = π / 4 tenemos


\overrightarrow{OG}\times(m\vec{g}) = \vec{0}

Si el extremo del muelle está en A y β = π / 4 el par que ejerce el muelle es


\overrightarrow{OA}\times\vec{F}_k = \sqrt{2}L(\vec{\imath} + \vec{\jmath})\times(kL(1-1/\sqrt{2})\,\vec{\jmath})
=
kL^2\,\dfrac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}}\,\vec{k}

Por tanto el par que hay que aplicar es


\vec{\tau} = -kL^2\,\dfrac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}}\,\vec{k}

Herramientas:

Herramientas personales
TOOLBOX
LANGUAGES
licencia de Creative Commons
Esta página fue modificada por última vez el 20:29, 18 sep 2017. - Esta página ha sido visitada 391 veces. - Aviso legal - Acerca de Laplace