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Percusión sobre una barra articulada

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

¿Cómo cambian los resultados del problema “Percusión sobre una mancuerna y una barra” los dos problemas anteriores si la barra está articulada a un punto fijo O, situado en uno de los extremos de la barra? ¿Cuánto valen las percusiones y momentos impulsivos de reacción en O?

¿Y sí en lugar de estar articulada, está empotrada en O?

2 Introducción

A diferencia del problema mencionado, en este existe un vínculo que limita el movimiento de la varilla. La articulación en O hace que el movimiento sea necesariamente una rotación alrededor de este punto. Esto relaciona la velocidad del CM con la velocidad angular

\vec{v}^G_{21}=\vec{\omega}^{21}\times\overrightarrow{OG}=\omega_{21}b\vec{\jmath}

Por su parte, dado que la rotación se produce en torno a O, que e sun punto fijo, interesa el momento de inercia respecto a un eje ortogonal a la varilla por O. Aplicando el teorema de Steiner

IO = γmb2 + mb2 = (γ + 1)mb2

siendo γ = 1 para una mancuerna (varilla sin masa, con dos masas en los extremos, en este caso una en la propia articulación) y γ = 1 / 3 para la barra homogénea.

3 Momento cinético respecto a O

El teorema del momento cinético, aplicado en O, nos da

\Delta \vec{L}_O=\vec{L}^+_O=\overrightarrow{OA}\times\vec{P}=(b+c)P\vec{k}

lo que nos da la velocidad angular tras la percusión, por ser un eje principal,

\vec{\omega}^+_{21}=\frac{\vec{L}_O^+}{I_O}=\frac{(b+c)P}{(\gamma+1)mb^2}\vec{k}

4 Cantidad de movimiento

Una vez que tenemos la velocidad angular, tenemos la del CM

\vec{v}^{G+}_{21}=\omega^+_{21}b\vec{\jmath}=\frac{(b+c)P}{(\gamma+1)mb}\vec{\jmath}

y por tanto la cantidad de movimiento tras la percusión

\vec{p}^+=m\vec{v}^{G+}_{21}=\frac{(b+c)P}{(\gamma+1)b}\vec{\jmath}

5 Momento cinético respecto al CM

Si queremos el momento cinético respecto al CM podemos trasladarlo mediante la relación

\vec{L}_G=\vec{L}_O+\vec{p}\times\overrightarrow{OG}

o aplicar directamente

\vec{L}_G=I_G\vec{\omega}_{21}=\frac{\gamma}{\gamma+1}\,(b+c)P\vec{k}

6 Energía cinética

La energía cinética tras la percusión la obtenemos a partir del momento cinético en O

T=\frac{1}{2}\vec{p}\cdot\vec{v}_{21}^O+\frac{1}{2}\vec{L}_O\cdot\vec{\omega}_{21}=\frac{(b+c)^2P^2}{2(\gamma+1)mb^2}

Esta energía cinética es menor que la que se tiene para la barra libre. Esto es una propiedad general, la presencia de vínculos reduce la ganancia de energía cinética.

7 Percusión de reacción

La percusión de reacción la obtenemos que sabemos como ha cambiado la cantidad de movimiento del sistema

\Delta \vec{p}=\vec{P}_O+\vec{P}_A\qquad\Rightarrow\qquad \vec{P}_O=m\vec{v}^G_{21}-\vec{P}_A

lo que nos da

\vec{P}_O=\left(\frac{(b+c)P}{(\gamma+1)b}-P\right)\vec{\jmath}=\frac{c-\gamma b}{(\gamma+1)b}\vec{P}_A

Para el caso de la mancuerna dado que c < 1, esta percusión de reacción siempre es opuesta a la que aplicamos, pero para la barra homogénea, puede tanto ir en sentido opuesto como en el mismo sentido, dependiendo del punto de aplicación. En particular, si c = b / 3, la percusión de reacción es nula.

8 Caso de una barra empotrada

Si la barra está empotrada, su estado tras percusión es de reposo

\vec{v}^{G+}_{21}=\vec{0}\qquad\qquad\vec{\omega}_{21}^+=\vec{0}

Esto nos da directamente la percusión de reacción en O

\vec{0}=\vec{P}_O+\vec{P}_A\qquad\Rightarrow\qquad \vec{P}_O=-P\vec{\jmath}

y el momento impulsivo de reacción

\vec{0}=\vec{H}_O+\overrightarrow{OA}\times\vec{P}_A\qquad\Rightarrow\qquad \vec{H}_O=-(c+b)P\vec{k}

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