Percusión sobre una barra (CMR)

Enunciado

Una masa m pende de una varilla rígida de masa despreciable y longitud b que está articulada en un punto fijo O. Se aplica una percusión horizontal en un punto de la varilla a una distancia c (c < b) de O.

1. Determine la velocidad de la masa inmediatamente tras la percusión.
2. Calcule el impulso de reacción en O el punto de anclaje
3. Halle el incremento de la energía cinética de la masa.
4. Suponga ahora que la varilla no es de masa despreciable, sino que lo que tenemos es una barra de masa M, sin masa en el extremo y articulada en O. ¿Cuánto valen en ese caso la velocidad angular de la barra tras la percusión y el impulso de reacción?

Velocidad de la partícula

Además de la percusión aplicada en A, aparece una percusión de reacción en el punto O, desconocida en principio. Por ello, conviene aplicar el teorema del momento cinético, tomando este punto O como centro de reducción.

De acuerdo con la versión impulsiva de este teorema

$\Delta {\vec {L}}_{O}=\sum _{i}{\vec {r}}_{i}\times {\vec {P}}_{i}$

Si elegimos un sistema de ejes en que OX es horizontal y OY es vertical y hacia arriba, la percusión la aplicamos en un punto $-c{\vec {\jmath }}$ y tiene valor $P{\vec {\imath }}$.

El momento cinético previo es nulo, pues la masa está en reposo.

${\vec {L}}_{o}^{\,-}={\vec {0}}$

Tras la percusión, la masa adquiere una velocidad $v_{0}{\vec {\imath }}$ resultando en un momento cinético

${\vec {L}}_{O}^{\,+}=m(-b{\vec {\jmath }})\times (v_{0}{\vec {\imath }})=mbv_{0}{\vec {k}}$

El momento impulsivo vale

${\vec {r}}_{1}\times {\vec {P}}=(-c{\vec {\jmath }})\times (P{\vec {\imath }})=cP{\vec {k}}$

Por el teorema del momento cinético

$mbv_{0}{\vec {k}}-{\vec {0}}=cP{\vec {k}}\qquad \Rightarrow \qquad v_{0}={\frac {cP}{mb}}$

Impulso de reacción

Por el teorema de la cantidad de movimiento

$\Delta {\vec {p}}=\sum _{i}{\vec {P}}_{i}$

donde el sumatorio incluye tanto la percusión aplicada como la de reacción en O. Dado que conocemos la variación de la cantidad de movimiento, podemos despejar la percusión de reacción

$m({\vec {v}}^{\,+}-{\vec {v}}^{\,-})=mv_{0}{\vec {\imath }}=P{\vec {\imath }}+{\vec {P}}_{O}\qquad \Rightarrow \qquad {\vec {P}}_{O}=(mv_{0}-P){\vec {\imath }}=\left({\frac {c}{b}}-1\right)P{\vec {\imath }}$

Dado que $c<b$ esta percusión va en sentido contrario a la aplicada. Se anula si la percusión se aplica sobre la propia masa.

Incremento en la energía cinética

El cálculo del incremento en la energía es inmediato

$\Delta K={\frac {1}{2}}mv_{0}^{2}-0={\frac {c^{2}P^{2}}{2mb^{2}}}$

Sin embargo, parecería que este incremento no cumple la relación

$\Delta K=\sum _{i}{\vec {P}}_{i}\cdot \left({\frac {{\vec {v}}^{\,+}+{\vec {v}}^{\,-}}{2}}\right)$

ya que si la velocidad media es $cP/2mb$, el resultado no coincide con el incremento en la energía cinética (falta un factor c/b). La razón es que en el teorema de la energía cinética aparece la velocidad del punto donde se aplica la percusión, que no es la masa en este caso.

La barra efectúa un movimiento de rotación instantánea alrededor de O, con velocidad angular ${\vec {\omega }}=\omega {\vec {k}}$, de valor tal que

$v_{0}{\vec {\imath }}={\vec {v}}_{P}={\vec {\omega }}\times {\overrightarrow {OP}}=\omega b{\vec {\imath }}\qquad \Rightarrow \qquad \omega ={\frac {v_{0}}{b}}={\frac {cP}{mb^{2}}}$

y por tanto la velocidad del punto A donde se aplica la percusión es

$={\vec {v}}_{A}={\vec {\omega }}\times {\overrightarrow {OA}}=\left({\frac {cP}{mb^{2}}}{\vec {k}}\right)\times (-c{\vec {\jmath }})={\frac {c^{2}P}{mb^{2}}}{\vec {\imath }}$

y, por tanto, efectivamente

$\sum _{i}{\vec {P}}_{i}\cdot \left({\frac {{\vec {v}}^{\,+}+{\vec {v}}^{\,-}}{2}}\right)=(P{\vec {\imath }})\cdot \left({\frac {(c^{2}P/mb^{2}){\vec {\imath }}+{\vec {0}}}{2}}\right)={\frac {c^{2}P^{2}}{2mb^{2}}}=\Delta K$