Percusión en sistema de dos masas

Enunciado

Supongamos dos masas iguales $m/2$ unidas por una barra rígida de longitud $2b$, sin masa (lo que sería una mancuerna ideal). Las masas reposan sobre un plano horizontal, sobre el que pueden moverse sin rozamiento.

Inicialmente la varilla está en reposo.

1. Se comunica una percusión ${\vec {P}}$ perpendicular a la barra en un punto A a una distancia $c$ de su centro. ¿Cuánto valen la cantidad de movimiento, el momento cinético respecto al CM y la energía cinética de la barra? ¿Cómo es el movimiento del sistema a partir de ese momento?
2. ¿Cómo cambian los resultados del problema anterior si en lugar de una mancuerna tenemos una barra homogénea de longitud $2b$ y masa $m$ a la cual se comunica una percusión ${\vec {P}}$ perpendicular a la barra a una distancia $c$ de su centro?
3. ¿Cómo cambian los resultados de los dos problemas anteriores si la barra está articulada a un punto fijo $B$, situado a una distancia $d$ del centro de la barra? ¿Cuánto valen las fuerzas y momentos de reacción en B?
4. ¿Y sí en lugar de estar articulada, está empotrada en B?

Barra con masas, libre

Las ecuaciones básicas de la dinámica del sólido sometido a una percusión aplicada en un punto A son

$\Delta (m{\vec {v}}_{G})={\vec {P}}\qquad \qquad \Delta {\vec {L}}_{O}={\overrightarrow {OA}}\times {\vec {P}}$

De la primera obtenemos la velocidad del centro de masas tras la percusión (antes de ella es nula). Aquí m es la masa total del sólido (la masa de cada partícula es m/2).

Tomamos un sistema de ejes en el que el OX es colineal con la barra, el OY es ortogonal a ella dentro del mismo plano horizontal y el OZ es perpendicular al plano del movimiento.

En este sistema

$\Delta (m{\vec {v}}_{G})=m{\vec {v}}_{G}^{+}=P{\vec {\jmath }}\qquad \Rightarrow \qquad {\vec {v}}_{G}^{+}={\frac {P}{m}}{\vec {\jmath }}$

Para la rotación necesitamos en primer lugar el tensor de inercia del sistema en O. En este caso es muy simple, los tres ejes son principales; el momento respecto a OX es nulo por estar las dos masas sobre el propio eje; el momento respecto a OY es igual al momento respecto a OZ y vale

$I_{yy}=I_{zz}={\frac {m}{2}}b^{2}+{\frac {m}{2}}b^{2}=mb^{2}$

El momento cinético del sólido es entonces, en este sistema de ejes principales

${\vec {L}}_{O}=I_{xx}\omega _{x}{\vec {\imath }}+I_{yy}\omega _{y}{\vec {\jmath }}+I_{zz}\omega _{z}{\vec {k}}=mb^{2}\left(\omega _{y}{\vec {\jmath }}+I_{zz}\omega _{z}{\vec {k}}\right)$

El momento de percusión vale

${\overrightarrow {OA}}\times {\vec {P}}=c{\vec {\imath }}\times P{\vec {\jmath }}=cP{\vec {k}}$

igualando resulta

$\omega _{y}^{+}=0\qquad \qquad \omega _{z}^{+}={\frac {cP}{mb^{2}}}{\vec {k}}$

Una vez que se efectúa la percusión la velocidad del CM y la velocidad angular permanecen constantes, por lo que el movimiento de la varilla es una combinación de avance horizontal y de rotación respecto a un eje vertical.

El centro instantáneo de rotación de este movimiento plano es

${\overrightarrow {oI}}={\frac {{\vec {k}}\times {\vec {v}}_{O}^{+}}{\omega }}$

en este caso O es el propio CM por lo que su velocidad ya la hemos calculado. Esto nos da

${\overrightarrow {OI}}={\frac {(P/m){\vec {k}}\times {\vec {\jmath }}}{cP/mb^{2}}}=-{\frac {b^{2}}{c}}{\vec {\imath }}$

Si c es nula, este CIR se va al infinito, lo que corresponde a que si golpeamos la varilla en el centro no gira, sino que solo se traslada. Si golpeamos en una de las masas ($c=b$) el CIR pasa a estar en la otra, que en el instante inicial aun no se mueve.

Barra homogénea, libre

En el caso de una masa homogénea, el razonamiento es el mismo que en el apartado anterior. La única diferencia es que el momento de inercia es ahora

$I_{yy}=I_{zz}={\frac {1}{12}}m(2b)^{2}={\frac {mb^{2}}{3}}$

lo que produce una velocidad angular diferente

$\omega _{y}^{+}=0\qquad \qquad \omega _{z}^{+}={\frac {3P}{mb^{2}}}{\vec {k}}$

aunque la velocidad del CM no se ve afectada

$\Delta (m{\vec {v}}_{G})=m{\vec {v}}_{G}^{+}=P{\vec {\jmath }}\qquad \Rightarrow \qquad {\vec {v}}_{G}^{+}={\frac {P}{m}}{\vec {\jmath }}$

Esto implica que el nuevo centro instantáneo de rotación se halla en

${\overrightarrow {OI}}={\frac {(P/m){\vec {k}}\times {\vec {\jmath }}}{3cP/mb^{2}}}=-{\frac {b^{2}}{3c}}{\vec {\imath }}$

Esto quiere decir que si se aplica la percusión en un extremo, el centro instantáneo de rotación se halla a b/3 del centro, es decir, 1 1/6 de la longitud de la barra desde el centro (y por tanto, a 1/3 desde el extremo).

Barra con masas, articulada

Si la barra está articulada en B, quiere decir que la velocidad de este punto es nula en todo instante

${\vec {v}}_{B}={\vec {0}}$

Esta velocidad es, en general, incompatible con el campo de velocidades hallado en el primer apartado, por lo que el movimiento antes calculado no es posible en este caso.

El vínculo de la articulación implica la aparición de una fuerza de reacción impulsiva en este punto. Al ser una articulación no aparece un par en B, ya que la rotación es libre alrededor de este punto. La ecuación para la velocidad del CM es ahora

$m{\vec {v}}_{G}^{+}={\vec {P}}+{\vec {P}}_{r}$

donde la percusión de reacción es una incógnita más del problema.Esº

Esta ecuación, por tanto, no es suficiente para determinar la velocidad del CM.

Podemos aplicar que B es un punto fijo y calcular momentos respecto a este punto, de manera que

$\Delta {\vec {L}}_{B}={\overrightarrow {BA}}\times {\vec {P}}$

aquí no aparece la percusión de reacción porque se aplica en el propio punto B y por tanto su momento es nulo.

El momento de inercia respecto a este punto lo podemos hallar por el teorema de Steiner

$I_{xx}=0\qquad \qquad I_{yy}=I_{zz}=mb^{2}+md^{2}$

por lo que la ecuación para la rotación queda

$m(b^{2}+d^{2})\left(\omega _{y}^{+}{\vec {\jmath }}+\omega _{z}^{+}{\vec {k}}\right)=((c+d){\vec {\imath }})\times (P{\vec {\jmath }})\qquad \qquad \omega _{y}^{+}=0\qquad \qquad \omega _{z}^{+}={\frac {(c+d)P}{m(b^{2}+d^{2})}}$

Por tanto, la barra comienza a describir un movimiento de rotación alrededor de B con esta velocidad angular.

La velocidad del CM justo trás la percusión la da el campo de velocidades de un sólido en rotación

${\vec {v}}_{G}^{+}={\vec {\omega }}^{+}\times \{{\overrightarrow {BO}}=\left({\frac {(c+d)P}{m(b^{2}+d^{2})}}{\vec {k}}\right)\times \left(d{\vec {\imath }}\right)={\frac {d(c+d)P}{m(b^{2}+d^{2})}}{\vec {\jmath }}$

A partir de aquí hallamos la fuerza impulsiva de reacción

${\vec {P}}_{r}=m{\vec {v}}_{G}^{+}-{\vec {P}}=\left({\frac {d(c+d)}{(b^{2}+d^{2})}}-1\right)P{\vec {\jmath }}={\frac {dc-b^{2}}{b^{2}+d^{2}}}P{\vec {\jmath }}$

La condición para que esta percusión sea nula es que

$d={\frac {b^{2}}{c}}\qquad \Rightarrow \qquad {\vec {P}}_{r}=0$

que coincide con que B sea el CIR justo tras la percusión.

Nótese también que la percusión de reacción no tiene por qué ir en sentido contrario a la aplicada. Dependiendo de las dimensiones, puede ir en el sentido opuesto o en el mismo sentido.

Una vez que la barra comienza a girar sique existiendo una fuerza de reacción, pero ya no impulsiva. La razón es que el CM está describiendo un movimiento circular en torno al punto B. La fuerza no impulsiva es puramente normal al movimiento (y longitudinal con la barra)

${\vec {F}}_{r}=-m\omega ^{2}d{\vec {\imath }}=-\left({\frac {(c+d)P}{m(b^{2}+d^{2})}}\right)^{2}d{\vec {\imath }}$

Barra homogénea, articulada

Con una barra homogénea el cálculo es idéntico, salvo que se modifica el momento de inercia

$I_{xx}=0\qquad \qquad I_{yy}=I_{zz}={\frac {1}{3}}mb^{2}+md^{2}$

lo que nos da la nueva velocidad angular

$m\left({\frac {1}{3}}b^{2}+d^{2}\right)(\omega _{y}^{+}{\vec {\jmath }}+\omega _{z}^{+}{\vec {k}})=((c+d){\vec {\imath }})\times (P{\vec {\jmath }})\qquad \qquad \omega _{y}^{+}=0\qquad \qquad \omega _{z}^{+}={\frac {3(c+d)P}{m(b^{2}+3d^{2})}}$

la nueva fuerza impulsiva de reacción es ahora

${\vec {P}}_{r}=m{\vec {v}}_{G}^{+}-{\vec {P}}=\left({\frac {3d(c+d)}{(b^{2}+3d^{2})}}-1\right)P{\vec {\jmath }}={\frac {3dc-b^{2}}{b^{2}+3d^{2}}}P{\vec {\jmath }}$

De nuevo se anula cuando el punto B coincide con el CIR.

Barra con masas, empotrada

En el caso de que la barra esté empotrada no se mueve aun recibiendo la percusión

${\vec {v}}^{+}G={\vec {0}}\qquad \qquad {\vec {\omega }}^{+}={\vec {0}}$

esto quiere decir que las fuerzas y momentos de reacción anulan completamente el efecto de la percusión aplicada. Por tanto

${\vec {0}}={\vec {P}}+{\vec {P}}_{r}\qquad \Rightarrow \qquad {\vec {P}}_{r}=-P{\vec {\jmath }}$

y

${\vec {0}}={\vec {M}}_{r}+{\overrightarrow {BC}}\times {\vec {P}}\qquad \Rightarrow \qquad {\vec {M}}_{r}=-(d+c)P{\vec {k}}$

Barra homogénea, empotrada

El resultado del apartado anterior no depende del momento de inercia del sólido. Por tanto, el resultado para una varilla homogénea es exactamente el mismo que para un par de masas localizadas.