Partícula unida a un sistema articulado

Enunciado

Se tiene un sistema articulado formado por dos barras de la misma masa y la misma longitud $h$ situadas sobre una superficie horizontal. La primera barra tiene un extremo O fijo, de forma que gira alrededor de él con velocidad angular constante $\Omega$ respecto a un sistema de ejes fijos OXY. La segunda barra está articulada en el extremo A de la primera y gira respecto de los mismos ejes fijos con una velocidad angular $-2\Omega$. En el instante $t=0$ el sistema está completamente extendido a lo largo del eje OX.

1. Escriba las ecuaciones horarias de la posición del punto P para todo instante.
2. Para el instante $t=0$ halle
   1. La velocidad y la rapidez.
   2. La aceleración como vector y sus componentes intrínsecas (escalares).
   3. El radio y el centro de curvatura.
3. Para el instante $t=\pi /(2\Omega )$ calcule
   1. La velocidad y la rapidez.
   2. La aceleración como vector y sus componentes intrínsecas (escalares).

Ecuaciones horarias

Podemos hallar la posición instantánea mediante una suma vectorial

${\overrightarrow {OP}}={\overrightarrow {OA}}+{\overrightarrow {AP}}$

siendo

${\overrightarrow {OA}}=h\cos(\Omega t){\vec {\imath }}+h\,\mathrm {sen} (\Omega t){\vec {\jmath }}$

y

${\overrightarrow {AP}}=h\cos(-2\Omega t){\vec {\imath }}+h\,\mathrm {sen} (-2\Omega t){\vec {\jmath }}=h\cos(2\Omega t){\vec {\imath }}-h\,\mathrm {sen} (2\Omega t){\vec {\jmath }}$

lo que da

${\vec {r}}={\overrightarrow {OP}}=h\left(\cos(\Omega t)+\cos(2\Omega t)\right){\vec {\imath }}+h\left(\mathrm {sen} (\Omega t)-\mathrm {sen} (2\Omega t)\right){\vec {\jmath }}$

Una vez que tenemos el vector de posición, calculamos la velocidad instantánea derivando una vez respecto al tiempo

${\vec {v}}=-h\Omega \left(\mathrm {sen} (\Omega t)+2\,\mathrm {sen} (2\Omega t)\right){\vec {\imath }}+h\Omega \left(\cos(\Omega t)-2\cos(2\Omega t)\right){\vec {\jmath }}$

y la aceleración derivando una segunda vez

${\vec {a}}=-h\Omega ^{2}\left(\mathrm {cos} (\Omega t)+4\,\mathrm {cos} (2\Omega t)\right){\vec {\imath }}-h\Omega ^{2}\left(\mathrm {sen} (\Omega t)-4\,\mathrm {sen} (2\Omega t)\right){\vec {\jmath }}$ Archivo:Varillas-articuladas-01.gif  Archivo:Varillas-articuladas-02.gif

Magnitudes en t=0

Si particularizamos los resultados generales para el instante $t=0$ nos queda

${\vec {r}}_{0}=2h{\vec {\imath }}\qquad \qquad {\vec {v}}_{0}=-h\Omega {\vec {\jmath }}\qquad \qquad {\vec {a}}_{0}=-5h\Omega ^{2}{\vec {\imath }}$

sin más que aplicar que $\mathrm {sen} (0)=0$ y $\cos(0)=1$.

Velocidad y rapidez

La velocidad ya la tenemos

${\vec {v}}_{0}=-h\Omega {\vec {\jmath }}$

y la rapidez o celeridad es el módulo de esta

$|{\vec {v}}_{0}|=h\Omega$

De camino, obtenemos el vector tangente en este instante

${\vec {T}}_{0}={\frac {{\vec {v}}_{0}}{|{\vec {v}}_{0}|}}=-{\vec {\jmath }}$

Aceleración

El vector aceleración ya lo tenemos

${\vec {a}}_{0}=-5h\Omega ^{2}{\vec {\imath }}$

Esta aceleración es ortogonal a la velocidad instantánea, por tanto se anula la aceleración tangencial en este instante.

${\vec {a}}_{t0}={\vec {0}}\qquad \qquad a_{t0}=0$

y la aceleración normal coincide con la aceleración al completo

${\vec {a}}_{n0}={\vec {a}}_{0}=-5h\Omega ^{2}{\vec {\imath }}\qquad \qquad a_{n}=|{\vec {a}}_{n}|=5h\Omega ^{2}$

El vector normal en este instante es el unitario en la dirección y sentido de la aceleración normal

${\vec {N}}_{0}={\frac {{\vec {a}}_{n0}}{|{\vec {a}}_{n0}|}}=-{\vec {\imath }}$

Radio y centro de curvatura

El radio de curvatura lo hallamos a partir de la rapidez y la aceleración normal

$R_{0}={\frac {|{\vec {v}}_{0}|^{2}}{a_{n0}}}={\frac {h^{2}\Omega ^{2}}{5h\Omega ^{2}}}={\frac {h}{5}}$

y el centro de curvatura en este instante se encuentra en el punto

${\vec {r}}_{c0}={\vec {r}}_{0}+R_{0}{\vec {N}}_{0}=2h{\vec {\imath }}-{\frac {h}{5}}{\vec {\imath }}={\frac {9}{5}}h{\vec {\imath }}$

Vemos que el radio de curvatura no coincide con la longitud de la barra, ni el centro de curvatura con el punto de articulación.

Archivo:Varillas-articuladas-03.png

Magnitudes en t = π/(2Ω)

De la misma manera operamos para el otro instante, sin más que sustituir. Resultan la posición, velocidad y aceleración siguientes:

${\vec {r}}_{1}=h\left(-{\vec {\imath }}+{\vec {\jmath }}\right)\qquad \qquad {\vec {v}}_{1}=h\Omega \left(-{\vec {\imath }}+2{\vec {\jmath }}\right)\qquad \qquad {\vec {a}}_{1}=h\Omega ^{2}\left(4{\vec {\imath }}-{\vec {\jmath }}\right)$

Velocidad y rapidez

Ya tenemos la velocidad

${\vec {v}}_{1}=h\Omega \left(-{\vec {\imath }}+2{\vec {\jmath }}\right)$

y nos queda la rapidez

$\left|{\vec {v}}_{1}\right|=h\Omega {\sqrt {5}}$

siendo el vector tangente en este instante

${\vec {T}}_{1}=-{\frac {1}{\sqrt {5}}}{\vec {\imath }}+{\frac {2}{\sqrt {5}}}{\vec {\jmath }}$

Aceleración

La aceleración al completo ya la conocemos

${\vec {a}}_{1}=h\Omega ^{2}\left(4{\vec {\imath }}-{\vec {\jmath }}\right)$

y obtenemos la aceleración tangencial proyectando sobre el vector tangente

$a_{t1}={\vec {a}}_{1}\cdot {\vec {T}}_{1}=-{\frac {6}{\sqrt {5}}}h\Omega ^{2}$

y en forma vectorial

${\vec {a}}_{t1}=a_{t1}{\vec {T}}_{1}={\frac {6}{5}}h\Omega ^{2}\left({\vec {\imath }}-2{\vec {\jmath }}\right)$

La aceleración normal es la diferencia entre la completa y la tangencial

${\vec {a}}_{n1}={\vec {a}}_{1}-{\vec {a}}_{t1}={\frac {7}{5}}h\Omega ^{2}\left(2{\vec {\imath }}+{\vec {\jmath }}\right)$

siendo la aceleración normal escalar

$a_{n1}=|{\vec {a}}_{n1}|={\frac {7}{\sqrt {5}}}h\Omega ^{2}$

Al igual que en la sección anterior, podríamos hallar el radio y el centro de curvatura.

Archivo:Varillas-articuladas-04.png