Partícula unida a un sistema articulado

Enunciado

Se tiene un sistema articulado formado por dos barras de la misma masa y la misma longitud $h$ situadas sobre una superficie horizontal. La primera barra tiene un extremo O fijo, de forma que gira alrededor de él con velocidad angular constante $\Omega$ respecto a un sistema de ejes fijos OXY. La segunda barra está articulada en el extremo A de la primera y gira respecto de los mismos ejes fijos con una velocidad angular $-2\Omega$. En el instante Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t=0} el sistema está completamente extendido a lo largo del eje OX.

1. Escriba las ecuaciones horarias de la posición del punto P para todo instante.
2. Para el instante Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t = 0} halle
   1. La velocidad y la rapidez.
   2. La aceleración como vector y sus componentes intrínsecas (escalares).
   3. El radio y el centro de curvatura.
3. Para el instante Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t = \pi/(2\Omega)} calcule
   1. La velocidad y la rapidez.
   2. La aceleración como vector y sus componentes intrínsecas (escalares).

Ecuaciones horarias

Podemos hallar la posición instantánea mediante una suma vectorial

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AP}}

siendo

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OA}=h\cos(\Omega t)\vec{\imath}+h\,\mathrm{sen}(\Omega t)\vec{\jmath}}

y

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{AP}=h\cos(-2\Omega t)\vec{\imath}+h\,\mathrm{sen}(-2\Omega t)\vec{\jmath}=h\cos(2\Omega t)\vec{\imath}-h\,\mathrm{sen}(2\Omega t)\vec{\jmath}}

lo que da

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{r}=\overrightarrow{OP}=h\left(\cos(\Omega t)+\cos(2\Omega t)\right)\vec{\imath}+h\left(\mathrm{sen}(\Omega t)-\mathrm{sen}(2\Omega t)\right)\vec{\jmath}}

Una vez que tenemos el vector de posición, calculamos la velocidad instantánea derivando una vez respecto al tiempo

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}=-h\Omega\left(\mathrm{sen}(\Omega t)+2\,\mathrm{sen}(2\Omega t)\right)\vec{\imath}+h\Omega\left(\cos(\Omega t)-2\cos(2\Omega t)\right)\vec{\jmath}}

y la aceleración derivando una segunda vez

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}=-h\Omega^2\left(\mathrm{cos}(\Omega t)+4\,\mathrm{cos}(2\Omega t)\right)\vec{\imath}-h\Omega^2\left(\mathrm{sen}(\Omega t)-4\,\mathrm{sen}(2\Omega t)\right)\vec{\jmath}} Archivo:Varillas-articuladas-01.gif  Archivo:Varillas-articuladas-02.gif

Magnitudes en t=0

Si particularizamos los resultados generales para el instante Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t=0} nos queda

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{r}_0=2h\vec{\imath}\qquad\qquad \vec{v}_0=-h\Omega\vec{\jmath}\qquad\qquad \vec{a}_0=-5h\Omega^2\vec{\imath}}

sin más que aplicar que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathrm{sen}(0)=0} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \cos(0)=1} .

Velocidad y rapidez

La velocidad ya la tenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}_0=-h\Omega\vec{\jmath}}

y la rapidez o celeridad es el módulo de esta

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle |\vec{v}_0|=h\Omega}

De camino, obtenemos el vector tangente en este instante

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{T}_0=\frac{\vec{v}_0}{|\vec{v}_0|}=-\vec{\jmath}}

Aceleración

El vector aceleración ya lo tenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}_0=-5h\Omega^2\vec{\imath}}

Esta aceleración es ortogonal a la velocidad instantánea, por tanto se anula la aceleración tangencial en este instante.

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}_{t0}=\vec{0}\qquad\qquad a_{t0}=0}

y la aceleración normal coincide con la aceleración al completo

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}_{n0}=\vec{a}_0=-5h\Omega^2\vec{\imath}\qquad\qquad a_n = |\vec{a}_n|=5h\Omega^2}

El vector normal en este instante es el unitario en la dirección y sentido de la aceleración normal

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{N}_0=\frac{\vec{a}_{n0}}{|\vec{a}_{n0}|}=-\vec{\imath}}

Radio y centro de curvatura

El radio de curvatura lo hallamos a partir de la rapidez y la aceleración normal

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle R_0=\frac{|\vec{v}_0|^2}{a_{n0}}=\frac{h^2\Omega^2}{5h\Omega^2}=\frac{h}{5}}

y el centro de curvatura en este instante se encuentra en el punto

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{r}_{c0}=\vec{r}_0+R_0\vec{N}_0=2h\vec{\imath}-\frac{h}{5}\vec{\imath}=\frac{9}{5}h\vec{\imath}}

Vemos que el radio de curvatura no coincide con la longitud de la barra, ni el centro de curvatura con el punto de articulación.

Archivo:Varillas-articuladas-03.png

Magnitudes en t = π/(2Ω)

De la misma manera operamos para el otro instante, sin más que sustituir. Resultan la posición, velocidad y aceleración siguientes:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{r}_1=h\left(-\vec{\imath}+\vec{\jmath}\right)\qquad\qquad \vec{v}_1=h\Omega\left(-\vec{\imath}+2\vec{\jmath}\right)\qquad\qquad \vec{a}_1=h\Omega^2 \left(4\vec{\imath}-\vec{\jmath}\right)}

Velocidad y rapidez

Ya tenemos la velocidad

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}_1=h\Omega\left(-\vec{\imath}+2\vec{\jmath}\right)}

y nos queda la rapidez

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left|\vec{v}_1\right|=h\Omega\sqrt{5}}

siendo el vector tangente en este instante

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{T}_1=-\frac{1}{\sqrt{5}}\vec{\imath}+\frac{2}{\sqrt{5}}\vec{\jmath}}

Aceleración

La aceleración al completo ya la conocemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}_1=h\Omega^2 \left(4\vec{\imath}-\vec{\jmath}\right)}

y obtenemos la aceleración tangencial proyectando sobre el vector tangente

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a_{t1}=\vec{a}_1\cdot\vec{T}_1=-\frac{6}{\sqrt{5}}h\Omega^2}

y en forma vectorial

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La aceleración normal es la diferencia entre la completa y la tangencial

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siendo la aceleración normal escalar

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a_{n1}=|\vec{a}_{n1}|= \frac{7}{\sqrt{5}}h\Omega^2}

Al igual que en la sección anterior, podríamos hallar el radio y el centro de curvatura.

Archivo:Varillas-articuladas-04.png