Partícula unida a un sistema articulado

Enunciado

Se tiene un sistema articulado formado por dos barras de la misma masa y la misma longitud Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle h} situadas sobre una superficie horizontal. La primera barra tiene un extremo O fijo, de forma que gira alrededor de él con velocidad angular constante Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Omega} respecto a un sistema de ejes fijos OXY. La segunda barra está articulada en el extremo A de la primera y gira respecto de los mismos ejes fijos con una velocidad angular Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle -2\Omega} . En el instante Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t=0} el sistema está completamente extendido a lo largo del eje OX.

1. Escriba las ecuaciones horarias de la posición del punto P para todo instante.
2. Para el instante Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t = 0} halle
   1. La velocidad y la rapidez.
   2. La aceleración como vector y sus componentes intrínsecas (escalares).
   3. El radio y el centro de curvatura.
3. Para el instante $t=\pi /(2\Omega )$ calcule
   1. La velocidad y la rapidez.
   2. La aceleración como vector y sus componentes intrínsecas (escalares).

Ecuaciones horarias

Podemos hallar la posición instantánea mediante una suma vectorial

${\overrightarrow {OP}}={\overrightarrow {OA}}+{\overrightarrow {AP}}$

siendo

${\overrightarrow {OA}}=h\cos(\Omega t){\vec {\imath }}+h\,\mathrm {sen} (\Omega t){\vec {\jmath }}$

y

${\overrightarrow {AP}}=h\cos(-2\Omega t){\vec {\imath }}+h\,\mathrm {sen} (-2\Omega t){\vec {\jmath }}=h\cos(2\Omega t){\vec {\imath }}-h\,\mathrm {sen} (2\Omega t){\vec {\jmath }}$

lo que da

${\vec {r}}={\overrightarrow {OP}}=h\left(\cos(\Omega t)+\cos(2\Omega t)\right){\vec {\imath }}+h\left(\mathrm {sen} (\Omega t)-\mathrm {sen} (2\Omega t)\right){\vec {\jmath }}$

Una vez que tenemos el vector de posición, calculamos la velocidad instantánea derivando una vez respecto al tiempo

${\vec {v}}=-h\Omega \left(\mathrm {sen} (\Omega t)+2\,\mathrm {sen} (2\Omega t)\right){\vec {\imath }}+h\Omega \left(\cos(\Omega t)-2\cos(2\Omega t)\right){\vec {\jmath }}$

y la aceleración derivando una segunda vez

${\vec {a}}=-h\Omega ^{2}\left(\mathrm {cos} (\Omega t)+4\,\mathrm {cos} (2\Omega t)\right){\vec {\imath }}-h\Omega ^{2}\left(\mathrm {sen} (\Omega t)-4\,\mathrm {sen} (2\Omega t)\right){\vec {\jmath }}$ Archivo:Varillas-articuladas-01.gif  Archivo:Varillas-articuladas-02.gif

Magnitudes en t=0

Si particularizamos los resultados generales para el instante $t=0$ nos queda

${\vec {r}}_{0}=2h{\vec {\imath }}\qquad \qquad {\vec {v}}_{0}=-h\Omega {\vec {\jmath }}\qquad \qquad {\vec {a}}_{0}=-5h\Omega ^{2}{\vec {\imath }}$

sin más que aplicar que $\mathrm {sen} (0)=0$ y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \cos(0)=1} .

Velocidad y rapidez

La velocidad ya la tenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}_0=-h\Omega\vec{\jmath}}

y la rapidez o celeridad es el módulo de esta

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle |\vec{v}_0|=h\Omega}

De camino, obtenemos el vector tangente en este instante

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{T}_0=\frac{\vec{v}_0}{|\vec{v}_0|}=-\vec{\jmath}}

Aceleración

El vector aceleración ya lo tenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}_0=-5h\Omega^2\vec{\imath}}

Esta aceleración es ortogonal a la velocidad instantánea, por tanto se anula la aceleración tangencial en este instante.

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}_{t0}=\vec{0}\qquad\qquad a_{t0}=0}

y la aceleración normal coincide con la aceleración al completo

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}_{n0}=\vec{a}_0=-5h\Omega^2\vec{\imath}\qquad\qquad a_n = |\vec{a}_n|=5h\Omega^2}

El vector normal en este instante es el unitario en la dirección y sentido de la aceleración normal

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{N}_0=\frac{\vec{a}_{n0}}{|\vec{a}_{n0}|}=-\vec{\imath}}

Radio y centro de curvatura

El radio de curvatura lo hallamos a partir de la rapidez y la aceleración normal

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle R_0=\frac{|\vec{v}_0|^2}{a_{n0}}=\frac{h^2\Omega^2}{5h\Omega^2}=\frac{h}{5}}

y el centro de curvatura en este instante se encuentra en el punto

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{r}_{c0}=\vec{r}_0+R_0\vec{N}_0=2h\vec{\imath}-\frac{h}{5}\vec{\imath}=\frac{9}{5}h\vec{\imath}}

Vemos que el radio de curvatura no coincide con la longitud de la barra, ni el centro de curvatura con el punto de articulación.

Archivo:Varillas-articuladas-03.png

Magnitudes en t = π/(2Ω)

De la misma manera operamos para el otro instante, sin más que sustituir. Resultan la posición, velocidad y aceleración siguientes:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{r}_1=h\left(-\vec{\imath}+\vec{\jmath}\right)\qquad\qquad \vec{v}_1=h\Omega\left(-\vec{\imath}+2\vec{\jmath}\right)\qquad\qquad \vec{a}_1=h\Omega^2 \left(4\vec{\imath}-\vec{\jmath}\right)}

Velocidad y rapidez

Ya tenemos la velocidad

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}_1=h\Omega\left(-\vec{\imath}+2\vec{\jmath}\right)}

y nos queda la rapidez

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left|\vec{v}_1\right|=h\Omega\sqrt{5}}

siendo el vector tangente en este instante

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{T}_1=-\frac{1}{\sqrt{5}}\vec{\imath}+\frac{2}{\sqrt{5}}\vec{\jmath}}

Aceleración

La aceleración al completo ya la conocemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}_1=h\Omega^2 \left(4\vec{\imath}-\vec{\jmath}\right)}

y obtenemos la aceleración tangencial proyectando sobre el vector tangente

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a_{t1}=\vec{a}_1\cdot\vec{T}_1=-\frac{6}{\sqrt{5}}h\Omega^2}

y en forma vectorial

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}_{t1}=a_{t1}\vec{T}_1=\frac{6}{5}h\Omega^2\left(\vec{\imath}-2\vec{\jmath}\right)}

La aceleración normal es la diferencia entre la completa y la tangencial

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}_{n1}=\vec{a}_1-\vec{a}_{t1}=\frac{7}{5}h\Omega^2\left(2\vec{\imath}+\vec{\jmath}\right)}

siendo la aceleración normal escalar

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a_{n1}=|\vec{a}_{n1}|= \frac{7}{\sqrt{5}}h\Omega^2}

Al igual que en la sección anterior, podríamos hallar el radio y el centro de curvatura.

Archivo:Varillas-articuladas-04.png