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Partícula recorriendo una espiral, Enero 2015 (G.I.C.)

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Una partícula de masa m describe una espiral plana con un vector de posición en coordenadas polares \vec{r}(t) = r_0\,e^{\theta(t)}\,\vec{u}_r, siendo θ(t) = ωt. Tanto r0 como ω son constantes.

  1. Calcula el momento cinético de la partícula respecto del origen.
  2. Calcula el momento respecto del origen de la fuerza neta que actúa sobre la partícula.

2 Solución

2.1 Momento cinético

El vector de posición de la partícula es, en polares:


\vec{r} = r_0e^{\theta(t)}\,\vec{u}_r

Derivamos respecto al tiempo para obtener la velocidad


\vec{v} = r_0\dot{\theta}e^{\theta}\,\vec{u}_r + r_0e^{\theta}\dot{\vec{u}}_r
=
r_0\dot{\theta}e^{\theta}\,(\vec{u}_r + \vec{u}_{\theta})
=
r_0\omega e^{\omega t}\,(\vec{u}_r + \vec{u}_{\theta})

Hemos usado que θ = ωt y \dot{\theta}=\omega

El momento cinético respecto del origen es


\vec{L}_O = \vec{r}\times(m\vec{v}) = m\omega r_0^2e^{2\omega t}\,\vec{k}

2.2 Momento de la fuerza neta

El teorema del momento cinético dice


\dfrac{\mathrm{d}\vec{L}_O}{\mathrm{d}t} = \vec{M}_O

siendo \vec{M}_O el momento de la fuerza neta respecto del punto O. Derivando en la expresión del apartado anterior tenemos


\vec{M}_O = 2m\omega^2r_0^2e^{2\omega t}\,\vec{k}

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