Partícula moviéndose radialmente sobre el radio de un disco (G.I.A.)
De Laplace
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1 Enunciado
Una partícula P recorre con velocidad constante v0 el diámetro de un disco de radio R (sólido "0"). A su vez, el disco, contenido en todo instante en el plano fijo OX1Y1 (sólido "1") rueda sin deslizar sobre el eje OX1, de tal modo que su centro C avanza con velocidad .
Asociando al disco el triedro solidario CX0Y0 (sólido "0"), y definiendo un triedro auxilar PX2Y2 (sólido "2") cuyos ejes PX2 y PY2 tienen las mismas direcciones que los ejes CX0 y CY0, respectivamente; determina, en función de los datos del problema (R y v0) y de las coordenadas polares que se definen en la figura (ρ y θ):
- La velocidad absoluta (
) y la aceleración absoluta (
) de la partícula P.
- La posición del C.I.R. del movimiento {21} (analíticamente).
"'Nota:"' Se recomienda el uso de la base vectorial asociada al triedro "0" para resolver el ejercicio.
2 Solución
2.1 Vectores velocidad y aceleración del punto P en el movimiento {21}
Vamos a analizar los movimientos {01} y {20}, y construiremos el {21} como combinación de estos dos.
2.1.1 Movimiento {01}
El disco rueda sin deslizar sobre el eje OX1, Por tanto el punto de contacto A es el CIR. Por ahora, la reducción en A es

Aún no conocemos el valor de la velocidad
angular, que hay que poner en relación con los datos del
problema. Para ello nos fijamos en que el enunciado nos da la
velocidad . Usando la ecuación del campo de
velocidades, tenemos

La reducción en C es

Necesitaremos más adelante el campo de aceleraciones. Podemos observar
que la velocidad del punto C es constante en este movimiento, y su
expresión es siempre la dada por esta expresión. Además
también es constante en el tiempo. Entonces

Para calcular la aceleración del punto P expresamos el vector
en la base asociada al sólido "0". Obtenemos

2.1.2 Movimiento {20}
El punto P describe una traslación sobre el diámetro del disco. En la figura hemos escogido el eje CX0 coincidente con la trayectoria del punto sobre el disco. Al ser una traslación la velocidad angular es nula, y la velocidad es la misma en todos los puntos. La reducción en cualquier punto es

La aceleración angular es nula pues es una traslación en todo t. Lo mismo ocurre con la aceleración lineal, pues la velocidad es constante. Entonces

En particular .
2.1.3 Movimiento {21}
Utilizando la composición {21}= {20} + {01} podemos escribir la reducción de este movimiento en el punto C

Hemos expresado el vector en la base asociada al triedro "0". Del dibujo tenemos

Se nos pide . Usando la ecuación del campo de velocidades
del movimiento {21} tenemos

Para hallar usamos la misma composición

Hemos calculado ya y
. El término de Coriolis es

Con ello obtenemos

2.2 CIR del movimiento {21}
Como tenemos y la velocidad en C, podemos encontrar el
vector
