Partícula girando en un aro (G.I.A.)

Enunciado

Una partícula describe un movimiento circular de radio $R$ con velocidad angular uniforme $\omega$. Se considera que no hay rozamiento ni peso.

1. Aplicando la Segunda Ley de Newton en el sistema en reposo, calcula la fuerza neta ejercida sobre la partícula en cada instante.
2. Se considera una escuadra $OX_{0}Y_{0}$, de modo que el eje $OX_{0}$ pasa siempre por el centro de la circunferencia y la posición de la partícula en cada instante. Aplica la Segunda Ley de Newton en este sistema de referencia no inercial.

Solución

Fuerza en el S.R.I.

En el sistema de referencia inercial "1" la Segunda Ley de Newton es

$m\,{\vec {a}}_{21}^{P}={\vec {F}}_{neta}$

En este caso el dato es el movimiento y la incógnita es la fuerza. Usamos coordenadas polares para describir el movimiento

$\left.{\begin{array}{l}{\vec {r}}_{21}^{P}(t)=R\,{\vec {u}}_{\rho }\\\\{\vec {v}}_{21}^{P}(t)=R\,{\dot {\theta }}\,{\vec {u}}_{\theta }\\\\{\vec {a}}_{21}^{P}(t)=-R\,{\dot {\theta }}^{2}\,{\vec {u}}_{\rho }+R\,{\ddot {\theta }}\,{\vec {u}}_{\theta }\end{array}}\right.$

El enunciado nos dice que la velocidad angular es constante, es decir

${\dot {\theta }}=\omega _{0}\qquad \qquad \qquad {\ddot {\theta }}=0$

Por tanto, la fuerza neta que actúa sobre la partícula es

${\vec {F}}_{neta}=m\,{\vec {a}}_{21}^{P}=-m\,R\,{\dot {\theta }}^{2}\,{\vec {u}}_{\rho }$

Es una fuerza centrípeta pues apunta siempre hacia el centro de la circunferencia.

Segunda Ley de Newton en el sistema no inercial

Para poder aplicar la Segunda Ley de Newton en un sistema de referencia no inercial hay que incluir las fuerzas de inercia. Escogemos el sistema "0" de la figura de modo que el eje $OX_{0}$ pase en todo momento por la posición de la partícula, como se indica en la figura. Como ${\vec {\omega }}_{01}\neq 0$ este sistema es no inercial. La Segunda Ley en él se escribe

$m\,{\vec {a}}_{20}^{P}={\vec {F}}_{neta}+{\vec {F}}_{arr}+{\vec {F}}_{cor}$

La fuerza ${\vec {F}}_{neta}$ es la que se mide en el S.R.I. "1"

${\vec {F}}_{neta}=-m\,R\,{\dot {\theta }}^{2}\,{\vec {u}}_{\rho }=-m\,R\,{\dot {\theta }}^{2}\,{\vec {\imath }}_{0}$

Las fuerzas de inercia son

$\left.{\begin{array}{lll}{\vec {F}}_{arr}&=&-m\,{\vec {a}}_{01}^{P}\\&&\\&=&-m({\vec {a}}_{01}^{O}+{\vec {\alpha }}\times {\vec {r}}_{20}^{P}+{\vec {\omega }}\times ({\vec {\omega }}\times {\vec {r}}_{20}^{P}))\\&\\&=&-m\,{\vec {\omega }}\times ({\vec {\omega }}\times {\vec {r}}_{20}^{P})\\&&\\&=&m\,R\,{\dot {\theta }}^{2}\,{\vec {\imath }}_{0}\\&&\\&&\\{\vec {F}}_{cor}&=&-2\,m\,{\vec {\omega }}_{01}\times {\vec {v}}_{20}^{P}\\&&\\&=&{\vec {0}}\end{array}}\right.$

En la última expresión hemos usado que ${\vec {v}}_{20}^{P}={\vec {0}}$, pues la partícula no se mueve respecto al sistema "0".

La Segunda Ley en el sistema "0" queda

$m\,{\vec {a}}_{20}^{P}={\vec {F}}_{neta}+{\vec {F}}_{arr}=-2\,m\,{\vec {\omega }}_{01}\times {\vec {v}}_{20}^{P}+2\,m\,{\vec {\omega }}_{01}\times {\vec {v}}_{20}^{P}={\vec {0}}$

Es decir, desde el punto de vista del sistema "0" la aceleración es nula, como era de esperar. Para obtener este resultado es necesario añadir la fuerza de arrastre, que en este caso es una fuerza centrífuga. Señalar que la fuerza centrífuga no es la reacción a la centrípeta, en el sentido de la Tercera Ley. Es una fuerza que hay que añadir en el sistema de referencia no inercial para obtener el resultado de que la partícula no se mueve en él.