Partícula en tubo que gira (sistema no inercial) (G.I.A.)

Enunciado

Una partícula de masa $m$ se encuentra en el interior de un tubo estrecho, el cual gira con velocidad angular uniforme $\omega$ en torno a un eje perpendicular al del tubo. Obtenga las ecuaciones de movimiento para la partícula aplicando los resultados del movimiento relativo de sólidos rígidos.

Solución

El análisis del sistema bajo estudio puede realizarse en términos del movimiento relativo de sólidos rígidos: el plano horizontal fijo, y el tubo no deformable que, siempre contenido en dicho plano, gira con velocidad angular constante $\omega$ alrededor de un eje vertical que pasa por un punto $O$ del tubo.

Identificación y caracterización de movimientos relativos

Comos sabemos, sólido rígido y sistema de referencia son conceptos equivalentes. Así, podemos identificar el sólido “1” (plano fijo) con un sistema de referencia $OX_{1}Y_{1}Z_{1}$ cuyo plano $OX_{1}Y_{1}$ coincida geométricamente con aquél, y de manera que el tubo gire en torno al eje $OZ_{1}$. Por su parte, el tubo (sólido “0”) se moverá solidariamente con un sistema de referencia $OX_{0}Y_{0}Z_{0}$ cuyo origen va a estar en el punto por el que pasa el eje de rotación y que, por tanto, va a estar en reposo permanente respecto del sistema de referencia fijo. Además, para simplificar la descripción tomaremos el eje $OZ_{0}$ en la dirección vertical al plano de movimiento (es decir, coincidiendo con el $OZ_{1}$), y el $OX_{0}$ en la dirección longitudinal del tubo. De esta forma, la reducción cinemática (y su derivada) que permite describir el movimiento instantáneo del sólido “0” (tubo delgado) respecto del sólido “1” (plano fijo), es:

$S_{01}=\left\{{\begin{array}{l}\displaystyle {\vec {\omega }}_{01}(t)=\omega \!\ {\vec {k}}_{1}\quad \longrightarrow \quad {\vec {\alpha }}_{01}(t)={\frac {\mathrm {d} {\vec {\omega }}_{01}}{\mathrm {d} t}}{\bigg \rfloor }_{1}={\vec {0}}\\\\\displaystyle {\vec {v}}_{01}^{O}(t)={\vec {0}}\quad \longrightarrow \quad {\vec {a}}_{01}^{O}(t)={\frac {\mathrm {d} {\vec {v}}_{01}^{C}}{\mathrm {d} t}}{\bigg \rfloor }_{1}={\vec {0}}\end{array}}\right.$

Pero el objeto de estudio es la partícula $P$ que puede recorrer sin rozamiento el interior del tubo. Para describir las propiedades geométricas del movimiento de este punto material podemos seguir utilizando el formalismo de la cinemática del movimiento relativo de sólidos si consideramos que dicha partícula forma parte de un tercer sólido rígido (sólido “2”). La elección de las direcciones del sistema de referencia asociado,$PX_{2}Y_{2}Z_{2}$, y como se mueva este triedro respecto de los otros sólidos va a ser completamente irrelevante. Sólo es importante que tomemos el punto $P$ como centro de reducción. Así, optaremos por un sistema de referencia-sólido “2” que realice un movimiento simple: por ejemplo, un movimiento de traslación permanente, de manera que todos los puntos de dicho sólido se desplacen siempre paralelos al punto $P$. Y como dicho punto se desplaza siempre por el interior el tubo, o lo que es lo mismo, a lo largo del eje $OX_{0}$, la reducción cinemática del movimiento relativo del sólido “2” respecto del sólido “0”, es:

$S_{20}=\left\{{\begin{array}{l}\displaystyle {\vec {\omega }}_{20}(t)={\vec {0}}\quad \longrightarrow \quad {\vec {\alpha }}_{20}(t)={\frac {\mathrm {d} {\vec {\omega }}_{20}}{\mathrm {d} t}}{\bigg \rfloor }_{1}={\vec {0}}\\\\\displaystyle {\vec {v}}_{20}^{P}(t)={\dot {r}}(t)\!\ {\vec {\imath }}_{0}\quad \longrightarrow \quad {\vec {a}}_{20}^{P}(t)={\frac {\mathrm {d} {\vec {v}}_{20}^{P}}{\mathrm {d} t}}{\bigg \rfloor }_{0}={\ddot {r}}(t){\vec {\imath }}_{0}\end{array}}\right.$

donde $r(t)$ es la distancia desde la partícula hasta el punto fijo $O$, de manera que...

${\overrightarrow {OP}}=r(t)\!\ {\vec {\imath }}_{0}$

La reducción cinemática del movimiento {21} lo obtemos por composición de los movimientos {20} y {01}:

$S_{21}=\left\{{\begin{array}{l}\displaystyle {\vec {\omega }}_{21}(t)={\vec {\omega }}_{20}+{\vec {\omega }}_{01}=\omega \!\ {\vec {k}}_{1}\mathrm {;} \quad \forall \,t\\\\\displaystyle {\vec {v}}_{21}^{P}(t)={\vec {v}}_{20}^{P}(t)+{\vec {v}}_{01}^{P}(t)={\vec {v}}_{20}^{P}(t)+{\vec {\omega }}_{01}\times {\overrightarrow {OP}}={\dot {r}}(t)\!\ {\vec {\imath }}_{0}+\omega \!\ r(t)\!\ {\vec {\jmath }}_{0}\end{array}}\right.$

Los valores instantáneos de las derivadas temporales de los elementos de esta reducción se obtienen también por composición de movimientos:

${\begin{array}{l}\displaystyle {\vec {\alpha }}_{21}(t)={\vec {\alpha }}_{20}+{\vec {\alpha }}_{01}+{\vec {\omega }}_{01}\times {\vec {\omega }}_{20}={\vec {0}}\mathrm {;} \quad \forall \,t\\\\\displaystyle {\vec {a}}_{21}^{P}(t)={\vec {a}}_{20}^{P}(t)+{\vec {a}}_{01}^{P}(t)+2\!\ {\vec {\omega }}_{01}\times {\vec {v}}_{20}^{P}\end{array}}$

donde falta por calcular la aceleración “de arrastre“ (movimiento {01}) del punto $P$:

${\vec {a}}_{01}^{P}(t)=\underbrace {{\vec {a}}_{01}^{O}} _{={\vec {0}}}+\underbrace {{\vec {\alpha }}_{01}} _{={\vec {0}}}\times {\overrightarrow {OP}}+{\vec {\omega }}_{01}\times {\big (}{\vec {\omega }}_{01}\times {\overrightarrow {OP}}{\big )}={\vec {\omega }}_{01}{\big (}\underbrace {{\vec {\omega }}_{01}\cdot {\overrightarrow {OP}}} _{=0}{\big )}-|{\vec {\omega }}_{01}|^{2}\!\ {\overrightarrow {OP}}=-\omega ^{2}\!\ r(t)\!\ {\vec {\imath }}_{0}(t)$

Sustituyendo y operando en la expresión de la aceleración instantánea “absoluta” se obtiene:

${\vec {a}}_{21}^{P}(t)={\bigg [}{\ddot {r}}(t)-\omega ^{2}\!\ r(t){\bigg ]}\!\ {\vec {\imath }}_{0}(t)+2\omega {\dot {r}}(t)\!\ {\vec {\jmath }}_{0}(t)$

Ecuaciones de movimiento

Respecto del sólido “1” (sistema de referencia inercial)

Si el sólido “1” es un plano fijo solidario con la superficie terrestre, el sistema de referencia equivalente, $OX_{1}Y_{1}Z_{1}$, es un sistema de referencia inercial. Por tanto, los postulados de la Dinámica establecen que la aceleración de la partícula $P$ medida por este observador (es decir, ${\vec {a}}_{21}^{P}$), multiplicada por la masa inercial $m$ de la partícula, es igual a la suma de las fuerzas aplicadas sobre dicho punto material.

La partícula $P$ está sometida a la interacción gravitatoria y a la acción del tubo, que condiciona su movimiento. Así, sobre la partícula actúan sendas fuerzas: la fuerza peso,

${\vec {P}}=m{\vec {g}}=-mg\!\ {\vec {k}}_{0,1}$

y una fuerza de reacción vincular ${\vec {\Phi }}$ que sólo permite los movimientos $\delta {\vec {r}}_{P}$ de la partícula compatibles con el vínculo liso:

${\vec {\Phi }}\perp \!\ \delta {\vec {r}}_{P}=dx\!\ {\vec {\imath }}_{0}\quad \Longrightarrow \quad {\vec {\Phi }}=\Phi _{y}\!\ {\vec {\jmath }}_{0}+\Phi _{z}\!\ {\vec {k}}_{0}$

Aplicando la segunda ley de Newton junto con el principio de superposición, se tiene:

$m\!\ {\vec {a}}_{21}^{P}(t)={\vec {P}}+{\vec {\Phi }}\quad \longrightarrow \quad \left\{{\begin{array}{l}\displaystyle m{\bigg [}{\ddot {r}}(t)-\omega ^{2}\!\ r(t){\bigg ]}=0\\\\\displaystyle 2m\!\ \omega \!\ {\dot {r}}(t)=\Phi _{y}\\\\0=-mg+\Phi _{z}\end{array}}\right.$

donde la primera ecuación diferencial describe cómo se mueve la bolita dentro del tubo, siendo su solución, $r(t)$, la ley horaria de dicho movimiento. En este enlace puede encontrarse un análisis pormenorizado sobre dicha solución y el procedimiento para obtenerla. Por su parte, la segunda y tercera ecuaciones permiten determinar las componentes de la fuerza de reacción vincular con la que el tubo condiciona el movimiento de la partícula.

Respecto del sólido “0” (sistema de referencia no inercial)

Pero ¿qué pasa si intentamos describir el fenómeno desde el punto de vista de un observador solidario con el sólido “0”? En el apartado 2.1 se comprobó que la aceleración instantánea de la partícula medida por dicho observador es distinta de la que mide el sólido “1”. En consecuencia, las leyes de la Dinámica no se verifican de igual forma en ambos sistemas de referencia:

${\vec {a}}_{20}^{P}(t)\neq {\vec {a}}_{21}^{P}(t)\quad \Longrightarrow \quad \ m\!\ {\vec {a}}_{20}^{P}(t)\neq {\vec {P}}+{\vec {\Phi }}$

Pero esto es perfectamente consistente con los postulados de la Dinámica, ya que éstos se establecen para sistemas de referencia inerciales y el sólido “0 ” es NO INERCIAL, pues para ser inercial debería estar en reposo o en movimiento rectilíneo uniforme respecto del sólido “1”, siendo esto incompatible con el hecho de que el vector rotación ${\vec {\omega }}_{01}$ sea no nulo.

Sin embargo, podemos conseguir que también en este sistema de referencia no inercial se verifique la segunda ley de Newton, junto con el principio de superposición. Para ello introduciremos una nueva fuerza (que denominaremos “de inercia”, ${\vec {F}}_{\mathrm {iner} }$), convenientemente elegida para que se describa el mismo fenómeno que desde el sistema inercial “1”. Sin más que tener en cuenta la relación entre las aceleraciones absoluta y relativa de la partícula $P$, se llega al siguiente resultado:

$\left.{\begin{array}{l}\displaystyle m\!\ {\vec {a}}_{20}^{P}(t)={\vec {P}}+{\vec {\Phi }}+{\vec {F}}_{\mathrm {iner} }\\\\\displaystyle m\!\ {\vec {a}}_{21}^{P}(t)={\vec {P}}+{\vec {\Phi }}\end{array}}\right\}\quad \Longleftrightarrow \quad {\vec {F}}_{\mathrm {iner} }=-\!\ m\!\ {\vec {a}}_{01}^{P}\!\ -\!\ 2m\ {\vec {\omega }}_{01}\times {\vec {v}}_{20}^{P}={\vec {F}}_{\mathrm {arr} }^{P}+{\vec {F}}_{\mathrm {Cor} }^{P}$

Es decir, esta fuerza inercial está formada por sendas componentes proporcionales y opuestas, respectivamente, a la aceleración “de arrastre” y a la aceleración “de Coriolis” del punto $P$:

${\vec {F}}_{\mathrm {arr} }^{P}=-\!\ m\!\ {\vec {a}}_{01}^{P}=m\!\ \omega ^{2}\!\ r(t)\!\ {\vec {\imath }}_{0}\mathrm {;} \,\qquad {\vec {F}}_{\mathrm {Cor} }^{P}=-\!\ 2m\ {\vec {\omega }}_{01}\times {\vec {v}}_{20}^{P}=-2m\omega \!\ {\dot {r}}(t)\!\ {\vec {\jmath }}_{0}$

Así, al incluir estas fuerzas de inercia, las leyes de la Dinámica aplicadas en el sistema no inercial nos llevan a unas ecuaciones de movimiento idénticas a las obtenidas en la descripción desde el sistema inercial:

$m\!\ {\vec {a}}_{20}^{P}(t)={\vec {P}}+{\vec {\Phi }}+{\vec {F}}_{\mathrm {arr} }^{P}+{\vec {F}}_{\mathrm {Cor} }^{P}\quad \longrightarrow \quad \left\{{\begin{array}{l}\displaystyle m\!\ {\ddot {r}}(t)=m\!\ \omega ^{2}\!\ r(t)\\\\\displaystyle 0=-2m\!\ \omega \!\ {\dot {r}}(t)+\Phi _{y}\\\\0=-mg+\Phi _{z}\end{array}}\right.$