Partícula en semiaro circular con muelle: momento cinético (Ene. 2020 G.I.C.)

Enunciado

Una partícula de masa $m$ está engarzada en un semiaro de radio $R$. Un muelle de constante elástica $k=mg/R$ y longitud natural nula conecta la partícula y el punto $A$ del semiaro. La gravedad no actúa.

1. Dibuja el diagrama de fuerzas de la partícula.
2. Escribe la expresión que da el momento cinético de la partícula respecto al punto $O$.
3. Aplicando el Teorema del Momento Cinético, encuentra la ecuación de movimiento de la partícula.

Solución

Diagrama de fuerzas

La figura de la derecha muestra las fuerzas que actúan sobre la partícula. La fuerza vincular ${\vec {N}}$ es perpendicular al aro, es decir, radial. La fuerza del muelle apunta hacia el punto de anclaje del muelle $A$. Las expresiones de estas fuerzas son

${\begin{array}{l}{\vec {N}}=N\cos \theta \,{\vec {\imath }}+N\,\mathrm {sen} \,\theta \,{\vec {\jmath }},\\{\vec {F}}_{k}=-k{\overrightarrow {AP}}=-k({\overrightarrow {OP}}-{\overrightarrow {OA}})=-kR(1+\cos \theta )\,{\vec {\imath }}+R\,\mathrm {sen} \,\theta \,{\vec {\jmath }}.\end{array}}$

Hemos usado los vectores

${\begin{array}{l}{\overrightarrow {OP}}=R\cos \theta \,{\vec {\imath }}+R\,\mathrm {sen} \,\theta \,{\vec {\jmath }},\\{\overrightarrow {OA}}=-R\,{\vec {\imath }}.\end{array}}$

Momento cinético

El momento cinético respecto del punto $O$ es

${\vec {L}}_{O}={\overrightarrow {OP}}\times (m{\vec {v}}).$

El vector velocidad es

${\vec {v}}={\dot {\overrightarrow {OP}}}=-R{\dot {\theta }}\,\mathrm {sen} \,\theta \,{\vec {\imath }}+R{\dot {\theta }}\cos \theta \,{\vec {\jmath }}.$

Haciendo el producto vectorial obtenemos

${\vec {L}}_{O}=mR^{2}{\dot {\theta }}\,{\vec {k}}.$

Ecuación de movimiento

El Teorema del Momento Cinético aplicado en el punto $O$ dice

${\dfrac {\mathrm {d} {\vec {L}}_{O}}{\mathrm {d} t}}={\vec {M}}_{O}$

El término de la derecha es el momento neto respecto de $O$ de todas las fuerzas que actúan sobre la partícula. Tenemos

${\begin{array}{l}{\overrightarrow {OP}}\times {\vec {N}}={\vec {0}},\\{\overrightarrow {OP}}\times {\vec {F}}_{k}=kR^{2}\,\mathrm {sen} \,\theta \,{\vec {k}}=mgR\,\mathrm {sen} \,\theta \,{\vec {k}}.\end{array}}$

El primer primer vectorial es nulo pues los dos vectores son paralelos. En el segundo hemos usado que, según el enunciado, $k=mg/R$. El momento neto es

${\vec {M}}_{O}={\overrightarrow {OP}}\times {\vec {F}}_{k}=mgR\,\mathrm {sen} \,\theta \,{\vec {k}}.$

La derivada del momento cinético es

${\dot {\vec {L}}}_{O}=mR^{2}{\ddot {\theta }}\,{\vec {k}}.$

Por tanto la ecuación de movimiento es

${\ddot {\theta }}={\dfrac {g}{R}}\,\mathrm {sen} \,\theta .$