Partícula en movimiento rectilíneo con datos dependientes del tiempo

Enunciado

Una partícula se desplaza sobre el eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OX} de modo que en el instante inicial Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t=0} se encuentra en la posición Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x(0)=x_0} . Calcula la posición y velocidad de la partícula en todo instante de tiempo para los siguientes casos:

1. Su velocidad es constante e igual a Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v_0} .
2. Su aceleración es constante, Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a(t)=a_0} , y su velocidad inicial es Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v(0)=v_0} .
3. Su aceleración es Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a(t)=At^2} , siendo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A} una constante, y su velocidad inicial es Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v(0)=v_0} .

Solución

Velocidad constante

Tenemos Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v(t) = v_0} . A partir de la definición de velocidad en el movimiento rectilíneo

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v(t) = v_0 = \dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} \Longrightarrow \mathrm{d}x = v_0\,\mathrm{d}t \Longrightarrow \int\mathrm{d}x =\int v_0\,\mathrm{d}t \Longrightarrow x(t) = v_0t + C. }

La constante de integración Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C} se determina usando la condición inicial para la posición

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x(0)=x_0 \Longrightarrow C = x_0 }

Por tanto

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x(t) =x_0 + v_0t. }

Aceleración constante

Tenemos Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a(t) = a_0} . A partir de la definición de aceleración en el movimiento rectilíneo

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a(t) = a_0 = \dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} \Longrightarrow \mathrm{d}v = a_0\,\mathrm{d}t \Longrightarrow \int\mathrm{d}v =\int a_0\,\mathrm{d}t \Longrightarrow v(t) = a_0t + C. }

La constante de integración Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C} se determina usando la condición inicial para la velocidad

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v(0)=v_0 \Longrightarrow C = v_0 }

Por tanto

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v(t) =v_0 + a_0t. }

Una vez que tenemos Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v(t)} podemos obtener $x(t)$ de manera similar al apartado anterior

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v(t) = \dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} \Longrightarrow \mathrm{d}x = v(t)\,\mathrm{d}t \Longrightarrow \int\mathrm{d}x =\int v(t)\,\mathrm{d}t \Longrightarrow \int\mathrm{d}x =\int (v_0 + a_0t)\,\mathrm{d}t \Longrightarrow x(t) = v_0t + \dfrac{1}{2}a_0t^2 + C. }

La constante de integración $C$ se determina usando la condición inicial para la posición

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x(0)=x_0 \Longrightarrow C = x_0 }

Por tanto

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x(t) =x_0 + v_0t + \dfrac{1}{2}a_0t^2 }

Aceleración dependiente de la velocidad

El proceso es similar, pero ahora la aceleración depende del tiempo: Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a(t) = At^2} . A partir de la definición de aceleración en el movimiento rectilíneo

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a(t) = \dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} \Longrightarrow \mathrm{d}v = a(t)\,\mathrm{d}t \Longrightarrow \int\mathrm{d}v =\int a(t)\,\mathrm{d}t \Longrightarrow \int\mathrm{d}v =\int At^2\,\mathrm{d}t \Longrightarrow v(t) = \dfrac{1}{3}At^3 + C. }

La constante de integración Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C} se determina usando la condición inicial para la velocidad

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v(0)=v_0 \Longrightarrow C = v_0 }

Por tanto

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v(t) =v_0 + \dfrac{1}{3}At^3. }

Una vez que tenemos Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v(t)} podemos obtener Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x(t) }

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v(t) = \dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} \Longrightarrow \mathrm{d}x = v(t)\,\mathrm{d}t \Longrightarrow \int\mathrm{d}x =\int v(t)\,\mathrm{d}t \Longrightarrow \int\mathrm{d}x =\int (v_0 + \dfrac{1}{3}At^3)\,\mathrm{d}t \Longrightarrow x(t) = v_0t + \dfrac{1}{12}At^4 + C. }

La constante de integración Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C} se determina usando la condición inicial para la posición

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x(0)=x_0 \Longrightarrow C = x_0 }

Por tanto

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x(t) =x_0 + v_0t + \dfrac{1}{12}At^4 }

Podemos verificar que la expresión es correcta desde el punto de vista dimensional. Todos los términos de la derecha deben tener como unidad base en el SI Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle [x]=m} . Los dos primeros son evidentes. Para el tercero necesitamos las unidades de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A} , que se obtienen a partir de la expresión de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a(t)} del enunciado

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a = At^2 \Longrightarrow [A] = \dfrac{[a]}{[t^2]} = \dfrac{\mathrm{m/s^2}}{\mathrm{s^2}} = \dfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s^4}}. }

Entonces

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left[\dfrac{At^4}{12}\right] = \dfrac{\mathrm{ms^4}}{\mathrm{s^4}} = \mathrm{m}. }

Esto nos garantiza que la expresión que hemos obtenido no está catastróficamente mal.