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Partícula en movimiento rectilíneo con datos dependientes del tiempo

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Una partícula se desplaza sobre el eje OX de modo que en el instante inicial t = 0 se encuentra en la posición x(0) = x0. Calcula la posición y velocidad de la partícula en todo instante de tiempo para los siguientes casos:

  1. Su velocidad es constante e igual a v0.
  2. Su aceleración es constante, a(t) = a0, y su velocidad inicial es v(0) = v0.
  3. Su aceleración es a(t) = At2, siendo A una constante, y su velocidad inicial es v(0) = v0.

2 Solución

2.1 Velocidad constante

Tenemos v(t) = v0. A partir de la definición de velocidad en el movimiento rectilíneo


v(t) = v_0 = \dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}
\Longrightarrow
\mathrm{d}x = v_0\,\mathrm{d}t
\Longrightarrow
\int\mathrm{d}x =\int v_0\,\mathrm{d}t
\Longrightarrow
x(t) = v_0t + C.

La constante de integración C se determina usando la condición inicial para la posición


x(0)=x_0
\Longrightarrow
C = x_0

Por tanto

x(t) = x0 + v0t.

2.2 Aceleración constante

Tenemos a(t) = a0. A partir de la definición de aceleración en el movimiento rectilíneo


a(t) = a_0 = \dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}
\Longrightarrow
\mathrm{d}v = a_0\,\mathrm{d}t
\Longrightarrow
\int\mathrm{d}v =\int a_0\,\mathrm{d}t
\Longrightarrow
v(t) = a_0t + C.

La constante de integración C se determina usando la condición inicial para la velocidad


v(0)=v_0
\Longrightarrow
C = v_0

Por tanto

v(t) = v0 + a0t.

Una vez que tenemos v(t) podemos obtener x(t) de manera similar al apartado anterior


v(t) = \dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}
\Longrightarrow
\mathrm{d}x = v(t)\,\mathrm{d}t
\Longrightarrow
\int\mathrm{d}x =\int v(t)\,\mathrm{d}t
\Longrightarrow
\int\mathrm{d}x =\int (v_0 + a_0t)\,\mathrm{d}t
\Longrightarrow
x(t) = v_0t + \dfrac{1}{2}a_0t^2 + C.

La constante de integración C se determina usando la condición inicial para la posición


x(0)=x_0
\Longrightarrow
C = x_0

Por tanto


x(t) =x_0 + v_0t + \dfrac{1}{2}a_0t^2

2.3 Aceleración dependiente de la velocidad

El proceso es similar, pero ahora la aceleración depende del tiempo: a(t) = At2. A partir de la definición de aceleración en el movimiento rectilíneo


a(t) = \dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}
\Longrightarrow
\mathrm{d}v = a(t)\,\mathrm{d}t
\Longrightarrow
\int\mathrm{d}v =\int a(t)\,\mathrm{d}t
\Longrightarrow
\int\mathrm{d}v =\int At^2\,\mathrm{d}t
\Longrightarrow
v(t) = \dfrac{1}{3}At^3 + C.

La constante de integración C se determina usando la condición inicial para la velocidad


v(0)=v_0
\Longrightarrow
C = v_0

Por tanto


v(t) =v_0 + \dfrac{1}{3}At^3.

Una vez que tenemos v(t) podemos obtener x(t)


v(t) = \dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}
\Longrightarrow
\mathrm{d}x = v(t)\,\mathrm{d}t
\Longrightarrow
\int\mathrm{d}x =\int v(t)\,\mathrm{d}t
\Longrightarrow
\int\mathrm{d}x =\int (v_0 + \dfrac{1}{3}At^3)\,\mathrm{d}t
\Longrightarrow
x(t) = v_0t + \dfrac{1}{12}At^4 + C.

La constante de integración C se determina usando la condición inicial para la posición


x(0)=x_0
\Longrightarrow
C = x_0

Por tanto


x(t) =x_0 + v_0t + \dfrac{1}{12}At^4

Podemos verificar que la expresión es correcta desde el punto de vista dimensional. Todos los términos de la derecha deben tener como unidad base en el SI [x] = m. Los dos primeros son evidentes. Para el tercero necesitamos las unidades de A, que se obtienen a partir de la expresión de a(t) del enunciado


a = At^2
\Longrightarrow
[A] = \dfrac{[a]}{[t^2]} = \dfrac{\mathrm{m/s^2}}{\mathrm{s^2}} = \dfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s^4}}.

Entonces


\left[\dfrac{At^4}{12}\right]
= \dfrac{\mathrm{ms^4}}{\mathrm{s^4}} = \mathrm{m}.

Esto nos garantiza que la expresión que hemos obtenido no está catastróficamente mal.

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