Partícula en movimiento rectilíneo con datos dependientes del tiempo

Enunciado

Una partícula se desplaza sobre el eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OX} de modo que en el instante inicial $t=0$ se encuentra en la posición $x(0)=x_{0}$. Calcula la posición y velocidad de la partícula en todo instante de tiempo para los siguientes casos:

1. Su velocidad es constante e igual a $v_{0}$.
2. Su aceleración es constante, $a(t)=a_{0}$, y su velocidad inicial es $v(0)=v_{0}$.
3. Su aceleración es $a(t)=At^{2}$, siendo $A$ una constante, y su velocidad inicial es $v(0)=v_{0}$.

Solución

Velocidad constante

Tenemos $v(t)=v_{0}$. A partir de la definición de velocidad en el movimiento rectilíneo

$v(t)=v_{0}={\dfrac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}\Longrightarrow \mathrm {d} x=v_{0}\,\mathrm {d} t\Longrightarrow \int \mathrm {d} x=\int v_{0}\,\mathrm {d} t\Longrightarrow x(t)=v_{0}t+C.$

La constante de integración $C$ se determina usando la condición inicial para la posición

$x(0)=x_{0}\Longrightarrow C=x_{0}$

Por tanto

$x(t)=x_{0}+v_{0}t.$

Aceleración constante

Tenemos $a(t)=a_{0}$. A partir de la definición de aceleración en el movimiento rectilíneo

$a(t)=a_{0}={\dfrac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}\Longrightarrow \mathrm {d} v=a_{0}\,\mathrm {d} t\Longrightarrow \int \mathrm {d} v=\int a_{0}\,\mathrm {d} t\Longrightarrow v(t)=a_{0}t+C.$

La constante de integración $C$ se determina usando la condición inicial para la velocidad

$v(0)=v_{0}\Longrightarrow C=v_{0}$

Por tanto

$v(t)=v_{0}+a_{0}t.$

Una vez que tenemos $v(t)$ podemos obtener $x(t)$ de manera similar al apartado anterior

$v(t)={\dfrac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}\Longrightarrow \mathrm {d} x=v(t)\,\mathrm {d} t\Longrightarrow \int \mathrm {d} x=\int v(t)\,\mathrm {d} t\Longrightarrow \int \mathrm {d} x=\int (v_{0}+a_{0}t)\,\mathrm {d} t\Longrightarrow x(t)=v_{0}t+{\dfrac {1}{2}}a_{0}t^{2}+C.$

La constante de integración $C$ se determina usando la condición inicial para la posición

$x(0)=x_{0}\Longrightarrow C=x_{0}$

Por tanto

$x(t)=x_{0}+v_{0}t+{\dfrac {1}{2}}a_{0}t^{2}$

Aceleración dependiente de la velocidad

El proceso es similar, pero ahora la aceleración depende del tiempo: $a(t)=At^{2}$. A partir de la definición de aceleración en el movimiento rectilíneo

$a(t)={\dfrac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}\Longrightarrow \mathrm {d} v=a(t)\,\mathrm {d} t\Longrightarrow \int \mathrm {d} v=\int a(t)\,\mathrm {d} t\Longrightarrow \int \mathrm {d} v=\int At^{2}\,\mathrm {d} t\Longrightarrow v(t)={\dfrac {1}{3}}At^{3}+C.$

La constante de integración $C$ se determina usando la condición inicial para la velocidad

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v(0)=v_0 \Longrightarrow C = v_0 }

Por tanto

$v(t)=v_{0}+{\dfrac {1}{3}}At^{3}.$

Una vez que tenemos $v(t)$ podemos obtener $x(t)$

$v(t)={\dfrac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}\Longrightarrow \mathrm {d} x=v(t)\,\mathrm {d} t\Longrightarrow \int \mathrm {d} x=\int v(t)\,\mathrm {d} t\Longrightarrow \int \mathrm {d} x=\int (v_{0}+{\dfrac {1}{3}}At^{3})\,\mathrm {d} t\Longrightarrow x(t)=v_{0}t+{\dfrac {1}{12}}At^{4}+C.$

La constante de integración $C$ se determina usando la condición inicial para la posición

$x(0)=x_{0}\Longrightarrow C=x_{0}$

Por tanto

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x(t) =x_0 + v_0t + \dfrac{1}{12}At^4 }

Podemos verificar que la expresión es correcta desde el punto de vista dimensional. Todos los términos de la derecha deben tener como unidad base en el SI $[x]=m$. Los dos primeros son evidentes. Para el tercero necesitamos las unidades de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A} , que se obtienen a partir de la expresión de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a(t)} del enunciado

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a = At^2 \Longrightarrow [A] = \dfrac{[a]}{[t^2]} = \dfrac{\mathrm{m/s^2}}{\mathrm{s^2}} = \dfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s^4}}. }

Entonces

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left[\dfrac{At^4}{12}\right] = \dfrac{\mathrm{ms^4}}{\mathrm{s^4}} = \mathrm{m}. }

Esto nos garantiza que la expresión que hemos obtenido no está catastróficamente mal.