Entrar Página Discusión Historial Go to the site toolbox

Partícula en hilo vertical con dos muelles (Nov. 2017 G.I.C.)

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Una partícula de masa m puede moverse a lo largo del eje vertical Y. Está conectada a dos muelles como se indica en la figura. El muelle anclado en A tiene constante elástica k y longitud natural nula. El muelle anclado en O tiene constante elástica k y longitud natural d. El contacto entre la masa y el eje Y es rugoso con coeficiente de rozamiento estático μ. La partícula puede moverse a lo largo de todo el eje Y, por encima y por debajo del punto O.

  1. Dibuja el esquema de cuerpo libre de la partícula, teniendo en cuenta el rozamiento, indicando de que fuerzas se conoce su sentido a priori y de cuales no.
  2. Escribe las expresiones que dan las fuerzas de los muelles.
  3. Encuentra la posición de equilibrio sin rozamiento.
  4. Volviendo a considerar el rozamiento, y asumiendo que mg = kd / 2, encuentra el rango de posiciones de equilibrio.
  5. Considera de nuevo que no hay rozamiento. Ahora no hay ninguna condición sobre mg. ¿Cual es el período de las oscilaciones de la partícula?
  6. Supongamos ahora que el sistema se ajusta de modo que g=10.0\,\mathrm{m/s^2}, k=10.0\,\mathrm{N/m}, m=1.00\,\mathrm{kg}, d=1.00\,\mathrm{m}. En el instante inicial la masa se suelta en reposo desde el punto y=1.00\,\mathrm{m}. ¿Cuál es la posición de la partícula en cada instante?

2 Solución

2.1 Fuerzas sobre la partícula

La figura de la derecha muestra las fuerzas que actúan sobre la partícula: el peso, los dos muelles, la fuerza vincular normal y la de rozamiento. En rojo están las fuerzas de las que se conoce su dirección y sentido antes de resolver el problema (el peso, el muelle en A y la normal). En negro las que no se conoce el sentido a priori. Hay que recordar que el muelle anclado en O tiene longitud natural no nula, por lo que puede apuntar en los dos sentidos.

Las expresiones de estas fuerzas son


\begin{array}{l}
\vec{P} = -mg\,\vec{\jmath},\\
\vec{F}_A = -k\overrightarrow{AP} = -kd\,\vec{\imath} - ky\,\vec{\jmath},\\
\vec{F}_O = -k\overrightarrow{OP} = -k(y-d)\,\vec{\jmath},\\
\vec{\Phi} = N\,\vec{\imath},\\
\vec{F}_R = f\,\vec{\jmath}.
\end{array}

Aquí, y es la coordenada de la partícula en el eje OY.

2.2 Posición de equilibrio sin rozamiento

En situación de vínculo liso, la condición de equilibrio es


\vec{P} + \vec{F}_A + \vec{F}_O + \vec{\Phi}=\vec{0}
\Longrightarrow
\left\{
\begin{array}{lclr}
X) & \to & -kd + N = 0 & (1)\\
Y) & \to & -mg +kd - 2ky = 0 & (2)
\end{array}
\right.

De estas ecuaciones encontramos


y_{eq} = \dfrac{1}{2}\left(d-\dfrac{mg}{k}\right),
\qquad
\vec{\Phi} = kd\,\vec{\imath}.

2.3 Equilibrio con rozamiento

El efecto del rozamiento es que, en vez de tener una posición de equilibrio, tenemos un intervalo de posibles posiciones de equilibrio. La condición de equilibrio incluyendo la fuerza de rozamiento es


\vec{P} + \vec{F}_A + \vec{F}_O + \vec{\Phi} + \vec{F}_R=\vec{0}
\Longrightarrow
\left\{
\begin{array}{lclr}
X) & \to & -kd + N = 0 & (3)\\
Y) & \to & -mg +kd - 2ky + f = 0 & (4)
\end{array}
\right.

Para una posición dada, para que haya equilibrio las fuerzas de rozamiento y normal han de ser


\vec{F}_{R} = \dfrac{k}{2}\left(4y - d\right)\,\vec{\jmath}, 
\qquad
\vec{\Phi} = kd\,\vec{\imath}.

Hemos usado que, en este apartado, mg = kd / 2. Para que la fuerza de rozamiento sea capaz de mantener el equilibrio debe ocurrir


|\vec{F}_R| \leq \mu|\vec{\Phi}| 
\Longrightarrow
|4y-d| \leq 2\mu d.

Tenemos dos posibles situaciones

  1. 4y>d \Longrightarrow |4y-d| = 4y-d \leq 2\mu d \Longrightarrow y\leq (1+2\mu)/4d
  2. 4y<d \Longrightarrow |4y-d| = d-4y \leq 2\mu d \Longrightarrow y\geq (1-2\mu)/4d

Así pues, el intervalo de equilibrio es


\dfrac{1-2\mu}{4}d \leq y \leq \dfrac{1+2\mu}{4}d.

2.4 Análisis dinámico

Volvemos a ignorar el rozamiento y analizamos la situación con movimiento. La ecuación de movimiento es proporcionada por la Segunda Ley de Newton


m\vec{a} = \vec{P} + \vec{F}_A + \vec{F}_O + \vec{\Phi}
\Longrightarrow
\left\{
\begin{array}{lclr}
X) & \to & 0 = -kd + N  & (5)\\
Y) & \to & ma = -mg +kd - 2ky  & (6)
\end{array}
\right.

Como a=\ddot{y}, lq ecuación (6) puede escribirse


\ddot{y} = -\dfrac{2k}{m}y + \dfrac{kd}{m} - g.

Esta es la ecuación de un oscilador armónico de frecuencia angular y período


\omega = \sqrt{\dfrac{2k}{m}},
\qquad
T = \dfrac{2\pi}{\omega} = 2\pi\sqrt{\dfrac{m}{2k}},

Con los valores numéricos del enunciado la ecuación diferencial queda


\ddot{y} = -20y

Con condiciones iniciales


y(0) = 1\,\mathrm{(m)}, \qquad \dot{y}(0) = 0.

La solución general puede escribirse de la forma


y = a\cos(\sqrt{20}t) + b\,\mathrm{sen}\,(\sqrt{20}t)

y por tanto


\dot{y} = -a\sqrt{20}\,\mathrm{sen}\,(\sqrt{20}t) + b\sqrt{20}\cos(\sqrt{20}t).

Aplicando las condiciones iniciales llegamos a


y = 1.00\cos(\sqrt{20}t)\,\mathrm{(m)}
= 100\cos(\sqrt{20}t)\,\mathrm{(cm)}

Herramientas:

Herramientas personales
TOOLBOX
LANGUAGES
licencia de Creative Commons
Esta página fue modificada por última vez el 13:59, 3 dic 2017. - Esta página ha sido visitada 366 veces. - Aviso legal - Acerca de Laplace