Partícula con velocidad dependiente de x

Enunciado

Partícula con velocidad dependiente de x

Una partícula se desplaza sobre el eje $OX$ de modo que su velocidad cumple en cada instante $v(x)=Ax$, siendo $A$ una constante. En el instante inicial la coordenada de la partícula es $x_{0}$. Determina la función $x(t)$.

Solución

La velocidad de una partícula en el movimiento rectilíneo es

$v={\dfrac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}\Longrightarrow \mathrm {d} x=v(x)\,\mathrm {d} t\Longrightarrow {\dfrac {\mathrm {d} x}{v(x)}}=\mathrm {d} t\Longrightarrow {\dfrac {\mathrm {d} x}{x}}=A\mathrm {d} t$

Podemos integrar esta ecuación diferencial

$\int {\dfrac {\mathrm {d} x}{x}}=A\int \mathrm {d} t\Longrightarrow \ln x=At+C$

Imponemos la condición inicial

$x(t=0)=x_{0}\Longrightarrow \ln x_{0}=C$

Operando llegamos a

$x=x_{0}\,e^{At}$