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Partícula con velocidad dependiente de x

De Laplace

1 Enunciado

1.1 Partícula con velocidad dependiente de x

Una partícula se desplaza sobre el eje OX de modo que su velocidad cumple en cada instante v(x) = Ax, siendo A una constante. En el instante inicial la coordenada de la partícula es x0. Determina la función x(t).

2 Solución

La velocidad de una partícula en el movimiento rectilíneo es


v = \dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}
\Longrightarrow
\mathrm{d}x = v(x)\,\mathrm{d}t
\Longrightarrow
\dfrac{\mathrm{d}x}{v(x)} = \mathrm{d}t
\Longrightarrow
\dfrac{\mathrm{d}x}{x} = A\mathrm{d}t

Podemos integrar esta ecuación diferencial


\int \dfrac{\mathrm{d}x}{x} = A\int\mathrm{d}t
\Longrightarrow
\ln x = At + C

Imponemos la condición inicial


x(t=0) = x_0 
\Longrightarrow
\ln x_0 = C

Operando llegamos a


x = x_0\,e^{At}

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