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Partícula con dos muelles apoyada sobre un plano vertical, Noviembre 2014 (G.I.C.)

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Un partícula de masa m reposa sin rozamiento sobre un plano vertical definido por los puntos A y B de la figura. Está atada a dos muelles de constantes elásticas k1 y k2 y longitud natural nula, anclados en los puntos O y C, respectivamente. La partícula no puede deplazarse a lo largo del eje OZ. El plano AB puede desplazarse a lo largo del eje OX de modo que se mantiene siempre vertical.

  1. Dibuja el diagrama de cuerpo libre de la partícula.
  2. ¿Que condición debe cumplirse para que el punto de equilibrio de la masa esté sobre el eje OX?
  3. ¿Qué condición debe cumplir xP para que el plano AB ejerza una fuerza sobre la partícula?
  4. Supongamos que existe rozamiento entre la partícula y el plano, con un coeficiente de rozamiento estático μe. Si ym es la coordenada de la partícula sobre el eje OY, calcula el módulo de la fuerza de rozamiento.
  5. En la situación con rozamiento, supongamos que k1 = k2 = k, mg = 2kd, d = l y xP = l / 4. ¿Cuál es el rango de posiciones de equilibrio de la partícula sobre el plano?

2 Solución

2.1 Diagrama de cuerpo libre

La figura de la derecha muestra las fuerzas que actúan sobre la partícula cuando el vínculo es liso. La fuerza de reacción vincular es perpendicular al plano y, si actúa, debe empujar hacia la izquierda.

2.2 Condición para que la partícula esté sobre el eje OX y para que el plano ejerza fuerza

La expresión de las fuerzas en los ejes elegidos es

 
\begin{array}{l}
m\vec{g} = -mg\,\vec{\jmath} \\
\\
\vec{F}_O = -k_1\overrightarrow{OP} = -k_1x_P\,\vec{\imath} - k_1y_P\,\vec{\jmath}\\
\\
\vec{F}_A = -k_2\overrightarrow{CP} = -k_2(x_P-l)\,\vec{\imath} - k_2(y_P-d)\,\vec{\jmath}\\
\\
\vec{\Phi} = \Phi\,\vec{\imath}
\end{array}

Las coordenadas de la partícula son (xP,yP). La componente Φ de la fuerza de reacción vincular debe ser negativa, para ser coherente con el hecho de que la fuerza empuja hacia la izquierda.

En equilibrio la suma de las fuerzas debe ser cero

 
m\vec{g} + \vec{F}_O + \vec{F}_C + \vec{\Phi} = \vec{0}

Esta ecuación vectorial se descompone en dos ecuaciones escalares

 
\begin{array}{ll}
(X): & -k_1x_P - k_2(x_P-l) + \Phi = 0\\
&\\
(Y): & -mg -k_1y_p -k_2(y_P-d) = 0
\end{array}

La segunda ecuación nos da el valor de equilibrio de yP

 
y_P^{eq} = \dfrac{k_2d-mg}{k_1+k_2}

Para que la partícula esté sobre el eje OX debe ocurrir yP = 0, es decir

k2d = mg

Por otro lado, la fuerza de reacción vincular es

Φ = (k1 + k2)xPk2l

Para que el plano actúe esta componente debe ser negativa, pues la fuerza de reacción vincular sólo puede empujar hacia la izquierda. Entonces

 
\Phi \leq 0 \Longrightarrow  (k_1+k_2)x_P - k_2l \leq 0 
\Longrightarrow
x_P \leq \dfrac{k_2l}{k_1+k_2}

2.3 Análisis con rozamiento

La presencia del rozamiento introduce una fuerza mas, la fuerza de rozamiento, que debe ser paralela al plano. A diferencia de  \vec{\Phi}, esta fuerza puede apuntar en cualquiera de los dos sentidos. La fuerza de rozamiento se expresa

 
\vec{F}_R = F_R\,\vec{\jmath}

Ahora la condición de equilibrio es

 
m\vec{g} + \vec{F}_O + \vec{F}_C + \vec{\Phi} + \vec{F}_R= \vec{0}

Esta ecuación vectorial se descompone en dos ecuaciones escalares

 
\begin{array}{ll}
(X): & -k_1x_P - k_2(x_P-l) + \Phi = 0\\
&\\
(Y): & -mg -k_1y_p -k_2(y_P-d) +F_R = 0
\end{array}

El rozamiento hace que haya varias posiciones de equilibrio. La fuerza de rozamiento se adapta para que la suma total de fuerzas sea cero. Si la coordenada yP de la partícula es yP = ym la componente de la fuerza de rozamiento vale

FR = mgk2d + (k1 + k2)ym

Ahora bien, no todos los valores ym dan como resultado una posición de equilibrio. Para que esto ocurre el módulo de la fuerza de rozamiento debe ser menor que su valor máximo posible

 
|\vec{F}_R| \leq \mu|\vec{\Phi}| 
\Longrightarrow
|mg -k_2d + (k_1+k_2)y_m| \leq \mu|(k_1+k_2)x_p - k_2l|

Vamos a analizar las condiciones que esto impone en el caso simplificado que se da en el enunciado. Usando los valores indicados tenemos

 
|\vec{F}_R | = |kd + 2ky_m|, \qquad\qquad |\vec{\Phi}| = \dfrac{1}{2}kd

Por tanto, para que haya equilibrio debe cumplirse

 
|kd + 2ky_m| \leq \dfrac{1}{2}\mu kd

El valor de ym puede ser negativo (cuando está por debajo del eje OX). Si FR es positivo entonces

 
|kd + 2ky_m| = kd + 2ky_m \leq  \dfrac{1}{2}\mu kd
\Longrightarrow
y_m\leq \dfrac{d}{4}(\mu-2)

Por otra parte, si FR es negativo tenemos

 
|kd + 2ky_m| = -kd - 2ky_m \leq  \dfrac{1}{2}\mu kd
\Longrightarrow
y_m\geq -\dfrac{d}{4}(\mu+2)

Por tanto, para que sea posible el equilibrio debe ocurrir

 
 -\dfrac{d}{4}(\mu+2) \leq y_m \leq \dfrac{d}{4}(\mu-2)

Si μ < 2 todo el intervalo de valores de equilibrio está por debajo del eje OX.

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