Enunciado
Una partícula se desplaza sobre el eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OX} de modo que su aceleración cumple en cada instante Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a(x) = -A^2x} , siendo una constante. En la posición inicial la velocidad de la partícula es Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v_0} . Determina la función .
Solución
La aceleración es
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a(x) = \dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} }
Introducimos la regla de la cadena multiplicando y dividiendo por Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathrm{d}x}
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a(x) = \dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}\,\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}x} }
Como una derivada se puede entender como un cociente intercambiamos los dos números que aparecen en el denominador.
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a(x) = \dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}\,\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = \dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}\,v }
Hemos usado que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v=\mathrm{d}x/\mathrm{d}t} . Con esto nos ha quedado una ecuación diferencial en variables separables que se pueden integrar.
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v\,\mathrm{d}v = a(x)\,\mathrm{d}x \Longrightarrow \int v\,\mathrm{d}v = \int -A^2x\,\mathrm{d}x \Longrightarrow \dfrac{1}{2}v^2 = -\dfrac{1}{2}A^2x^2 + C }
Imponiendo la condición inicial
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C = \dfrac{v_0^2}{2} }
y por tanto
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v(x) = \sqrt{v_0^2 - A^2x^2} }
Ahora podemos plantear la ecuación diferencial para Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x(t)}
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = v(x) \Longrightarrow \dfrac{\mathrm{d}x}{v(x)} = \mathrm{d}t \Longrightarrow \dfrac{\mathrm{d}x}{\sqrt{v_0^2-A^2x^2}} = \mathrm{d}t }
Para integrar hacemos el cambio
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x =\dfrac{v_0}{A}\,\mathrm{sen}\,u \Longrightarrow \mathrm{d}x =\dfrac{v_0}{A}\cos u\,\mathrm{d}u \Longrightarrow \dfrac{\mathrm{d}x}{\sqrt{v_0^2-A^2x^2}} = \dfrac{\mathrm{d}u}{A} }
Integrando queda
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \int\dfrac{\mathrm{d}u}{A} = \int \mathrm{d}t \Longrightarrow u = At + D }
Y entonces
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x = \dfrac{v_0}{A}\,\mathrm{sen}\,(At + D) }
Si en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t=0} tenemos Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x=x_0} nos queda
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle D = \,\mathrm{arcsen}\,\left(\dfrac{x_0A}{v_0}\right) }
