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Partícula con aceleración dependiente de x

De Laplace

1 Enunciado

Una partícula se desplaza sobre el eje OX de modo que su aceleración cumple en cada instante a(x) = − A2x, siendo A una constante. En la posición inicial la velocidad de la partícula es v0. Determina la función v(x).

2 Solución

La aceleración es


a(x) = \dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}

Introducimos la regla de la cadena multiplicando y dividiendo por dx


a(x) = \dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}\,\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}x}

Como una derivada se puede entender como un cociente intercambiamos los dos números que aparecen en el denominador.


a(x) = \dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}\,\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}
= \dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}\,v

Hemos usado que v = dx / dt. Con esto nos ha quedado una ecuación diferencial en variables separables que se pueden integrar.


v\,\mathrm{d}v = a(x)\,\mathrm{d}x
\Longrightarrow
\int v\,\mathrm{d}v = \int -A^2x\,\mathrm{d}x
\Longrightarrow
\dfrac{1}{2}v^2 = -\dfrac{1}{2}A^2x^2 + C

Imponiendo la condición inicial


C = \dfrac{v_0^2}{2}

y por tanto


v(x) = \sqrt{v_0^2 - A^2x^2}

Ahora podemos plantear la ecuación diferencial para x(t)


\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = v(x)
\Longrightarrow
\dfrac{\mathrm{d}x}{v(x)} = \mathrm{d}t
\Longrightarrow
\dfrac{\mathrm{d}x}{\sqrt{v_0^2-A^2x^2}} = \mathrm{d}t

Para integrar hacemos el cambio


x =\dfrac{v_0}{A}\,\mathrm{sen}\,u
\Longrightarrow
\mathrm{d}x =\dfrac{v_0}{A}\cos u\,\mathrm{d}u
\Longrightarrow
\dfrac{\mathrm{d}x}{\sqrt{v_0^2-A^2x^2}}
=
\dfrac{\mathrm{d}u}{A}

Integrando queda


\int\dfrac{\mathrm{d}u}{A} =  \int \mathrm{d}t
\Longrightarrow
u = At + D

Y entonces


x = \dfrac{v_0}{A}\,\mathrm{sen}\,(At + D)

Si en t = 0 tenemos x = x0 nos queda


D = \,\mathrm{arcsen}\,\left(\dfrac{x_0A}{v_0}\right)

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