Uno de los elementos más comunes en problemas de dinámica es la presencia de hilos flexibles conectados a diferentes cuerpos, anclajes fijos o pasando por poleas. Estos hilos, en primera aproximaciones se consideran como ideales:
No tienen masa
Son inextensibles
Al ser inextensibles, garantizan que la distancia entre sus extremos permanece constante.
La propiedad de no tener masa implica que no tienen inercia y que no es necesario aplicarles una fuerza neta para moverlo, sino que simplemente se mueven arrastrados por las masas situadas en sus extremos.
Cuando tiramos de un extremo de un hilo (ideal o real), este experimenta una tensión. Esta es una fuerza debida a la minúscula separación en los átomos del extremo de la cuerda, que a su vez atraen a los átomos situados un poco más allá, y estos tiran de los siguientes, etc. El resultado es que todos los átomos quedan ligeramente separados de sus posiciones de equilibrio y toda el hilo se encuentra en tensión.
En principio, la tensión de un hilo puede ir variando a lo largo de éste. Por ejemplo, imaginemos una cuerda pesada que pende del techo. Los puntos superiores deben soportar una mayor fuerza que los inferiores, y por tanto la tensión será más elevada en los puntos más altos.
Si la cuerda es ideal, sin embargo, la tensión tiene el mismo valor en todos los puntos del hilo. Consideremos un elemento del hilo, de masa Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathrm{d}m}
y longitud . De acuerdo con la segunda ley de Newton,
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathrm{d}m\,\vec{a}=\vec{T}(x+\mathrm{d}x)-\vec{T}{x}}
ya que el elemento se encuentra sometido a dos tensiones, una por cada extremo, que tiran en sentidos opuestos. Si el hilo es completamente ideal, la masa de elemento es completamente nula y
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{0} = \vec{T}(x+\mathrm{d}x)-\vec{T}(x) \qquad\Rightarrow\qquad \vec{T}(x+\mathrm{d}x)= \vec{T}(x)}
Si el hilo se dobla en su camino (por ejemplo, al pasar por una polea también ideal sin masa), la tensión sigue teniendo el mismo módulo en todos los puntos del hilo, aunque su dirección y sentido cambien, por ser siempre tangente al hilo.
Péndulo simple
Un ejemplo sencillo de oscilador no lineal es el del péndulo simple. Consideremos una masa Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m}
que pende de un punto fijo a través de un hilo ideal, sin masa, y de longitud Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle l}
. Por acción de la gravedad, la masa oscila en torno al punto más bajo del péndulo.
Si usamos coordenadas polares en las que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta}
es el ángulo con la vertical nos quedan las ecuaciones de movimiento
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m\left(\ddot{\rho}-\rho\dot{\theta}^2\right) = F_\rho\qquad\qquad m(\rho\ddot{\theta}+2\dot{\rho}\dot{\theta})=F_\theta}
Por estar atada a un hilo tenso, la distancia al centro es constante
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \rho = \ell\qquad \dot{\rho}=0\qquad \ddot{\rho}=0}
La fuerza radial es la suma de la tensión de la barra, que va hacia adentro, con la componente radial del peso
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle F_\rho = -F_T + mg\cos(\theta)\,}
mientras que la fuerza acimutal contiene solo la contribución del peso
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle F_\theta = -mg\,\mathrm{sen}(\theta)}
Esto nos deja con
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle -m\ell\dot{\theta}^2 = -F_T + mg\cos(\theta)}
y
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m \ell \ddot{\theta}=-mg\,\mathrm{sen}(\theta)}
La primera ecuación nos sirve para hallar la tensión una vez que hayamos resuelto la segunda. Esta puede escribirse como
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \ddot{\theta}=-\frac{g}{\ell}\mathrm{sen}(\theta)}
Esta es la ecuación de un oscilador no lineal. Si consideramos que la lenteja del péndulo se separa poco de su posición de equilibrio
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta \simeq 0\qquad\Rightarrow\qquad \mathrm{sen}(\theta)=\theta -\frac{\theta^3}{6}+\cdots \simeq \theta}
y la ecuación del péndulo se reduce a
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \ddot{\theta} = -\frac{g}{\ell}\theta}
Esta es la ecuación de un oscilador armónico de frecuencia y periodo
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \omega = \sqrt{\frac{g}{\ell}}\qquad\qquad T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi\sqrt{\frac{\ell}{g}}}
Este resultado nos dice que, en primera aproximación, el periodo de un péndulo no depende de la amplitud de las oscilaciones (para grandes amplitudes, esto deja de ser cierto), sino solo de la longitud del péndulo.
Una vez resuelto el problema de hallar Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta(t)}
podemos calcular la tensión del hilo de la ecuación radial
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle F_T= mg\cos(\theta) + m \ell\dot{\theta}^2 \simeq mg - mg\frac{\theta^2}{2}+m\ell\dot{\theta}^2}
En el punto más bajo (Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta=0}
) esta tensión es mayor que la que habría si el péndulo estuviera en reposo, ya que la fuerza aplicada no es nula, sino que iguala a la masa por la aceleración normal
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle F_T(\theta=0) = mg + m \ell\dot{\theta}^2 = m g + m\frac{v^2}{\ell}}
Máquina de Atwood
Una de las aplicaciones de las tensiones de hilos es el de la máquina de Atwood, formada por dos masas Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m_{1}}
y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m_{2}}
unidas por un hilo ideal que pasa por una polea también ideal. Cuando se liberan estas masas, la más pesada tira de las más ligera y comienzan a moverse aceleradamente. La cuestión es calcular con qué aceleración lo hacen.
Para la masa Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m_{1}}
, las fuerzas que actúan sobre ella son su peso y la tensión del hilo, de forma que
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Puesto que todas las fuerzas son verticales, podemos usar cantidades escalares
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}_1 =a \vec{k}\qquad \vec{F}_{T1}=F_T\vec{k}\qquad\vec{g}=-g\vec{k}}
y queda
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m_1 a = -m_1g+F_T\,}
Haciendo los mismo para la segunda masa
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m_2\vec{a}_2 = m_2\vec{g}+\vec{F}_{T2}}
Por ser la cuerda inextensible, la aceleración con la que se estira por un lado debe ser exactamente igual que con la que se recoge por otro.
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x_1 + x_2 +\pi R = L=\mathrm{cte}\qquad\Rightarrow\qquad v_1+v_2 = 0\qquad\Rightarrow\qquad a_2=-a_1=-a}
Por otro lado, como el módulo de la tensión del hilo es el mismo a lo largo de todos sus puntos
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}_2 = -a\vec{k}\qquad \vec{F}_{T2} = F_T\vec{k}}
lo que nos da la ecuación escalar
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle -m_2a = -m_2g + F_T\,}
Restando las dos ecuaciones obtenemos la aceleración
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (m_1+m_2)a = (m_2-m_1)g\qquad\Rightarrow\qquad a = \frac{m_2-m_1}{m_2+m_1}g}
y si queremos la tensión del hilo
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle F_T = m_1(a+g) = \frac{2m_1m_2}{m_1+m_2}g}
La fuerza que debe ejercer el anclaje de la polea la da el que debe compensar las fuerzas que el hilo ejerce sobre ella ahacia abajo. Estas tenmsiones son opuestas a las que se ejercen sobre las masas.
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{F}_p+(-\vec{F}_{T1})+(-\vec{F}_{T2})=\vec{0}}
por lo que
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{F}_p=\vec{F}_{T1}+\vec{F}_{T2} = 2F_T\vec{k}=\frac{4m_1m_2}{m_1+m_2}g\vec{k}}
Vemos que no es simplemente igual al peso de las dos masas, sino que influye el que éstas estén aceleradas.
