Péndulo que se tensa (CMR)

Enunciado

Una masa m está atada a un hilo flexible ideal de longitud l cuyo otro extremo se encuentra amarrado a un punto fijo O. Inicialmente la masa se encuentra sobre la horizontal del punto de anclaje y a una distancia b de éste (b < l). Se suelta la masa de forma que inicialmente cae verticalmente hasta que el hilo se tensa. A partir de ahí describe un movimiento pendular.

1. ¿Cuál es la velocidad justo antes de que el hilo se tense?
2. ¿Cuál es la velocidad justo después de la tensión del hilo?
3. ¿Cuánto vale la percusión que ejerce el hilo en el momento de tensarse?
4. ¿Hasta que altura vuelve a subir la masa?

Velocidad previa a la percusión

Durante su descenso, la masa cae como una partícula no vinculada, sometida exclusivamente a la acción del peso. Puede aplicarse la ley de conservación de la energía mecánica, de manera que

${\frac {1}{2}}m\left|{\vec {v}}^{\,-}\right|^{2}=mgh\qquad \Rightarrow \qquad \left|{\vec {v}}^{\,-}\right|={\sqrt {2gh}}$

siendo

$h={\sqrt {l^{2}-b^{2}}}$

la altura que cae hasta que se tensa el hilo.

Si tomamos como eje OX el vertical hacia abajo y como eje OY el horizontal, el vector velocidad previa es

${\vec {v}}^{\,-}={\sqrt {2gh}}{\vec {\imath }}$

Velocidad posterior a la percusión

Cuando se tensa el hilo ya el movimiento pasa a ser circular. En el momento de la imposición de la ligadura aparece una tensión impulsiva, a lo largo del hilo. También puede aparecer una reacción vincular en el punto O donde está atado el péndulo.

Si tomamos el momento cinético en O la reacción en este punto no produce momento por estar aplicada en el propio punto y la tensión tampoco por ser radial. Por tanto

$\Delta {\vec {L}}_{O}={\vec {0}}$

El valor previo es

${\vec {L}}_{O}^{\,-}=m(h{\vec {\imath }}+b{\vec {\jmath }})\times (v^{-}{\vec {\imath }})=-mbv^{-}{\vec {k}}=-mb{\sqrt {2gh}}{\vec {k}}$

y el valor final, empleando coordenadas cilíndricas

${\vec {L}}_{O}^{\,+}=m(l{\vec {u}}_{\rho })\times (v^{-}{\vec {u}}_{\theta })=mlv^{+}{\vec {k}}$

Igualamos ambas cantidades y queda

$v^{+}={\frac {b}{l}}v^{-}=-{\frac {b}{l}}{\sqrt {2gh}}$

Geométricamente, esto quiere decir que se pierde por completo la velocidad radial y queda solo la acimutal.

Percusión del hilo

La percusión del hilo la obtenemos a partir del cambio en la cantidad de movimiento de la partícula

${\vec {P}}_{T}=m\left({\vec {v}}^{\,+}-{\vec {v}}^{\,-}\right)=m{\sqrt {2gh}}\left(-{\frac {b}{l}}{\vec {u}}_{\theta }-{\vec {\imath }}\right)$

Pasamos a la misma base para hacer la suma vectorial

${\vec {\imath }}=\cos(\theta ){\vec {u}}_{\rho }-\mathrm {sen} (\theta ){\vec {u}}_{\theta }={\frac {h}{l}}{\vec {u}}_{\rho }-{\frac {b}{l}}{\vec {u}}_{\theta }$

y nos queda

${\vec {P}}_{T}=m\left({\vec {v}}^{\,+}-{\vec {v}}^{\,-}\right)=-m{\sqrt {2gh}}{\frac {h}{l}}{\vec {u}}_{\rho }$

Altura máxima

En la percusión se ha producido una reducción en la rapidez y por tanto en la energía cinética. Esto hace que la masa no vuelva a alcanzar la altura inicial en sus oscilaciones, sino que llega hasta una altura menor. Aplicando de nuevo la ley de conservación de la energía mecánica

$h'={\frac {\left|{\vec {v}}^{\,+}\right|^{2}}{2g}}={\frac {b^{2}h}{l}}^{2}$

Esta sería la distancia vertical medida desde el nivel original.

Valores numéricos

Supongamos una masa de 1kg atada a un hilo de 50cm, estando el punto de inicial a 30cm del otro extremo.

En ese caso, por el teorema de Pitágoras, desciende 40cm y la velocidad en el momento que se tensa vale

$v^{-}={\sqrt {2gh}}={\sqrt {2\times 9.8\times 0.4}}\,{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} }}=2.8\,{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} }}$

Tras la percusión, la rapidez se reduce a

$v^{-}={\frac {b}{l}}{\sqrt {2gh}}=1.68\,{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} }}$

El valor de la percusión es de

$P_{T}=1\times 2.8\times 0.8\mathrm {N} \cdot \mathrm {s} =2.24\,\mathrm {N} \cdot \mathrm {s}$

y la altura a la que llega es

$h=0.144\,\mathrm {m} =14.4\,\mathrm {cm}$