Oscilaciones no lineales (CMR)

Oscilaciones no lineales

La ley de Hooke es aplicable a muchas situaciones en las que no tenemos un sólido elástico. Supongamos una partícula con un solo grado de libertad se encuentra sometida a una fuerza que depende de la posición $F=F(x)$ (por ejemplo, la gravitatoria o la ley de Coulomb). La partícula se encuentra en una posición de equilibrio, $x_{0}$ cuando la fuerza sobre ella es nula, $F(x_{0})=0$.

Si consideramos que la partícula se encuentra en una posición próxima a $x_{0}$ podemos emplear, en vez de la expresión completa de $F(x)$, que puede ser muy complicada, la serie de Taylor en torno a $x_{0}$

$F(x)\simeq \overbrace {F(x_{0})} ^{=0}+F'(x_{0})(x-x_{0})+{\frac {1}{2}}F''(x_{0})(x-x_{0})^{2}+\dots$

El equilibrio es estable cuando al separar la partícula de la posición de equilibrio, la fuerza recuperadora tiende a devolverlo a ella. En ese caso, la derivada en $x_{0}$ es negativa y podemos definir

$k=-F'(x_{0})>0\,$

y la fuerza vale aproximadamente

$F(x)\simeq -k(x-x_{0})$

que es de nuevo la ley de Hooke. Esto nos dice que los partículas oscilan aproximadamente de forma armónica cerca de un punto de equilibrio estable.

Si nos alejamos mucho de la posición de equilibrio, ya la aproximación lineal no es suficiente y debemos recurrir a términos de orden superior. En ese caso la fuerza se aproxima por

$F(x)\simeq -k(x-x_{0})+\alpha (x-x_{0})^{2}+\beta (x-x_{0})^{3}+\cdots$

y ya las oscilaciones no son armónicas.

Oscilaciones lineales. El oscilador armónico

El oscilador armónico es un modelo teórico que se aplica en primer lugar al comportamiento de sólidos elásticos, que verifican la ley de Hooke, pero cuya validez se extiende a muchísimos otros sistemas mecánicos (y físicos, en general, ya que es esencial en la teoría de circuitos en los campos electromagnéticos). La razón de su universalidad es que se trata del oscilador más sencillo posible: aquél en que la fuerza es lineal con la posición.

Ley de Hooke

Restringiéndonos al caso unidimensional, la ley de Hppke nos dice que la fuerza producida por un resorte elástico sobre una partícula es de la forma

$F=-k\left(x-x_{\mathrm {eq} }\right)\,$

siendo $x_{\mathrm {eq} }$ la posición de equilibrio para la cual esta fuerza es nula.

La ley de Hooke describe una fuerza recuperadora:

• cuando $x>x_{\mathrm {eq} }$, la fuerza es negativa, lo cual quiere decir que tiende a reducir $x$.

• cuando $x<x_{\mathrm {eq} }$, la fuerza es positiva, es decir, tiende a aumentar $x$.

Gráficamente, si representamos la fuerza como función de la longitud del resorte, el resultado es una recta de pendiente $-k$, es decir,

$k=-\left.{\frac {\mathrm {d} F}{\mathrm {d} x}}\right|_{x=x_{\mathrm {eq} }}$

Esta recta pasa por $F=0$ en la posición de equilibrio.

Energía potencial

Al tratarse de una fuerza en una dimensión y dependiente de la posición, deriva de una energía potencial según la relación

$F=-{\frac {\mathrm {d} U}{\mathrm {d} x}}$

lo que da para este caso

$U=U_{0}+{\frac {1}{2}}k\left(x-x_{\mathrm {eq} }\right)^{2}$

siendo $U_{0}$ una constante, que depende del origen de potencial elegido.

Gráficamente, la curva de energía potencial es una parábola con un mínimo en la posición de equilibrio. Se trata de un mínimo porque la segunda derivada es positiva

$k=\left.{\frac {\mathrm {d} ^{2}U}{\mathrm {d} x^{2}}}\right|_{x=x_{\mathrm {eq} }}>0$

Para el oscilador armónico sin rozamiento se cumple la conservación de la energía mec´nica

$E=K+U={\frac {1}{2}}mv^{2}+U_{0}+{\frac {1}{2}}k\left(x-x_{\mathrm {eq} }\right)^{2}=\mathrm {cte}$

que gráficamente corresponde a que la parábola se corta por una recta horizontal a la altura de la energía. Los puntos de corte de la recta con la parábola son los puntos de retorno, en los cuales la velocidad se anula.

Frecuencia de las oscilaciones

La segunda ley de Newton para el oscilador armónico

$m{\ddot {x}}=-k\left(x-x_{\mathrm {eq} }\right)$

predice un comportamiento oscilatorio alrededor de la posición de equilibrio

$x=x_{\mathrm {eq} }+A\cos(\omega t+\varphi )\,$

siendo la frecuencia y el periodo de las oscilaciones

$\omega ={\sqrt {\frac {k}{m}}}\qquad \qquad T=2\pi {\sqrt {\frac {m}{k}}}$

La amplitud de las oscilaciones es la máxima diferencia respecto a la posición de equilibrio, equivale a la mitad de la distancia entre los dos puntos de retorno.

Oscilador no lineal

El anterior análisis posee aplicabilidad directa, pero además es extremadamente útil como primera aproximación a sistemas más complejos (incluyendo una descripción más detallada de los medios elásticos).

Posiciones de equilibrio

Siguiendo con el caso de un movimiento unidimensional, si tenemos una partícula sometida a una fuerza dependiente de la posición, se cumplirá

$m{\ddot {x}}=F(x)$

Los puntos de equilibrio serán aquellos en que si se deposita en ellos la partícula en reposo, ésta no abandona la posición. La condición para ello es que la aceleración sea nula. Por tanto los puntos de equilibrio son aquellos en que se anula la fuerza

$F(x_{\mathrm {eq} })=0\qquad \Rightarrow \qquad x_{\mathrm {eq} }$ es un punto de equilibrio

Ahora, bien, un punto de equilibrio puede ser inestable o estable. Es inestable si cualquier pequeña perturbación provoca que la fuerza separe la partícula de la posición de equilibrio, y estable si tiende a devolverla a ella (es decir, si es recuperadora).

Para saber si el equilibrio es estable o inestable, debemos examinar cómo se comporta la fuerza en las proximidades de la posición de equilibrio. Para que sea estable, debe ser, como en el caso de la ley de Hooke:

• cuando $x>x_{\mathrm {eq} }$, la fuerza es negativa.

• cuando $x<x_{\mathrm {eq} }$, la fuerza es positiva.

Gráficamente, esto quiere decir que al pasar por $x_{\mathrm {eq} }$, la fuerza debe ser una función decreciente en la posición de equilibrio.

Estable	Inestable

En términos de la energía potencial, la condición para que un punto sea de equilibrio estable es que la energía potencial tenga un mínimo y para que sea inestable que tenga un máximo.

Estable	Inestable

Aproximación lineal y parabólica

Para el caso de que la fuerza sea una función derivable, podemos hacer uso de la serie de Taylor alrededor de $x_{\mathrm {eq} }$

$F(x)=\overbrace {F(x_{\mathrm {eq} })} ^{=0}+\left(x-x_{\mathrm {eq} }\right)\left.{\frac {\mathrm {d} F}{\mathrm {d} x}}\right|_{x_{\mathrm {eq} }}+{\frac {1}{2}}\left(x-x_{\mathrm {eq} }\right)^{2}\left.{\frac {\mathrm {d} ^{2}F}{\mathrm {d} x^{2}}}\right|_{x_{\mathrm {eq} }}+\cdots$

Si retenemos solo el primer término no nulo (ya que los siguientes son despreciables si estamos cerca de la posición de equilibrio) esto se puede escribir

$F=-k\left(x-x_{\mathrm {eq} }\right)\qquad \qquad k=-\left.{\frac {\mathrm {d} F}{\mathrm {d} x}}\right|_{x=x_{\mathrm {eq} }}$

Con lo que el criterio queda que si $k>0$ (primera derivada negativa), el punto de equilibrio es estable (e inestable en caso contrario).

Vemos que en ese caso, la ecuación se reduce a la de un oscilador armónico. Estamos aproximando la función de la fuerza (que puede ser muy complicada) por una línea recta. Por ello, se denomina, aproximación lineal.

En términos de la energía debemos ir a la segunda derivada, ya que la primera (la fuerza) se anula en la posición de equilibrio

$U(x)=U(x_{\mathrm {eq} })+\left(x-x_{\mathrm {eq} }\right)\overbrace {\left.{\frac {\mathrm {d} U}{\mathrm {d} x}}\right|_{x_{\mathrm {eq} }}} ^{=0}+{\frac {1}{2}}\left(x-x_{\mathrm {eq} }\right)^{2}\left.{\frac {\mathrm {d} ^{2}U}{\mathrm {d} x^{2}}}\right|_{x_{\mathrm {eq} }}+\cdots$

que en forma más compactia queda

$U=U_{0}+{\frac {1}{2}}k\left(x-x_{\mathrm {eq} }\right)^{2}$

con

$U_{0}=U(x_{\mathrm {eq} })\qquad \qquad k=\left.{\frac {\mathrm {d} ^{2}U}{\mathrm {d} x^{2}}}\right|_{x=x_{\mathrm {eq} }}>0$

Gráficamente, estamos aproximando la energía potencia por una parábola tangente a ella en el mínimo. La condición de equilibrio estable es entonces que la segunda derivada sea positiva en el punto de equilibrio.

Frecuencia aproximada

Cuando sustituimos la fuerza por su aproximación lineal en las proximidades de una posición de equilibrio

$m{\ddot {x}}=F(x)\simeq -k\left(x-x_{\mathrm {eq} }\right)$

el resultado es la ecuación de un oscilador armónico, siendo la frecuencia de oscilación

$\omega ={\sqrt {\frac {k}{m}}}\qquad \qquad k=-\left.{\frac {\mathrm {d} F}{\mathrm {d} x}}\right|_{x=x_{\mathrm {eq} }}=\left.{\frac {\mathrm {d} ^{2}U}{\mathrm {d} x^{2}}}\right|_{x=x_{\mathrm {eq} }}$

Hay que destacar que una misma fuerza puede tener diferentes posiciones de equilibrio a cada una de las cuales corresponderá una frecuencia de oscilación diferente.

Dependencia con la amplitud

En el oscilador armónico exacto, la frecuencia de oscilación depende solo de la constante del resorte y de la masa de la partícula, pero no de la amplitud de las oscilaciones.

En el caso no lineal general, el estudio de las oscilaciones como si fueran armónicas es solo una aproximación. Si nos alejamos mucho de las posiciones de equilibrio ya la frecuencia de oscilación variará.

El estudio de la dependencia de la frecuencia con la amplitud requiere métodos aproximados bastante más elaborados incluso para casos aparentemente simples, como el del péndulo.

El péndulo simple

El ejemplo más sencillo de oscilador no lineal es el del péndulo simple. Consideremos una masa $m$ que pende de un punto fijo a través de una barra rígida ideal, sin masa, y de longitud $l$. Por acción de la gravedad, la masa oscila en torno al punto más bajo del péndulo.

Ecuación de movimiento del péndulo

Si usamos coordenadas polares en las que $\varphi$ es el ángulo con la vertical nos quedan las ecuaciones de movimiento

$m\left({\ddot {\rho }}-\rho {\dot {\varphi }}^{2}\right)=F_{\rho }\qquad \qquad m(\rho {\ddot {\varphi }}+2{\dot {\rho }}{\dot {\varphi }})=F_{\varphi }$

Por estar atada a una barra rígida, la distancia al centro es constante

$\rho =l\qquad {\dot {\rho }}=0\qquad {\ddot {\rho }}=0$

La fuerza radial es la suma de la tensión de la barra, que va hacia adentro, con la componente radial del peso

$F_{\rho }=-F_{T}+mg\cos(\varphi )$

mientras que la fuerza acimutal contiene solo la contribución del peso

$F_{\varphi }=-mg\,\mathrm {sen} (\varphi )$

Esto nos deja con

$-ml{\dot {\varphi }}^{2}=-F_{T}+mg\cos(\varphi )$

y

$ml{\ddot {\varphi }}=-mg\,\mathrm {sen} (\varphi )$

La primera ecuación nos sirve para hallar la tensión una vez que hallamos resuelto la segunda. Esta puede escribirse como

${\ddot {\varphi }}=-{\frac {g}{l}}\mathrm {sen} (\varphi )$

Esta es la ecuación de un oscilador no lineal.

Ley del péndulo

Si consideramos que la lenteja del péndulo se separa poco de su posición de equilibrio

$\varphi \simeq 0\qquad \Rightarrow \qquad \mathrm {sen} (\varphi )=\varphi -{\frac {\varphi ^{3}}{6}}+\cdots \simeq \varphi$

y la ecuación del péndulo se reduce a

${\ddot {\varphi }}=-{\frac {g}{l}}\varphi$

Esta es la ecuación de un oscilador armónico de frecuencia y periodo

$\omega ={\sqrt {\frac {g}{l}}}\qquad \qquad T={\frac {2\pi }{\omega }}=2\pi {\sqrt {\frac {l}{g}}}$

Este resultado nos dice que, en primera aproximación, el periodo de un péndulo no depende de la amplitud de las oscilaciones (para grandes amplitudes, esto deja de ser cierto), sino solo de la longitud del péndulo. Una vez resuelto el problema de hallar $\varphi (t)$ podemos calcular la tensión de la barra de la ecuación radial

$F_{T}=mg\cos(\varphi )+ml{\dot {\varphi }}^{2}\simeq mg-mg{\frac {\varphi ^{2}}{2}}+mL{\dot {\varphi }}^{2}$

En el punto más bajo ($\varphi =0$) esta tensión es mayor que la que habría si el péndulo estuviera en reposo, ya que la la fuerza aplicada no es nula, sino que iguala a la masa por la aceleración normal

$F_{T}(\varphi =0)=mg+ml{\dot {\varphi }}^{2}=mg+m{\frac {v^{2}}{l}}$