No Boletín - Celeridad media (Ex.Oct/18)

Enunciado

Una partícula, que se mueve a lo largo del eje $OX\,$, tiene en el instante inicial $(t=0)\,$ una velocidad ${\vec {v}}(0)=v_{0}\,{\vec {\imath }}\,$ (donde $v_{0}>0\,$) y sufre una desaceleración creciente en el tiempo, dada por la función Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}(t)=-Ct\,\vec{\imath}\,} (donde Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C=\mbox{cte}>0\,} ), hasta que finalmente se detiene.

¿Cuál es la celeridad media de la partícula en el intervalo de tiempo transcurrido entre el instante inicial y el instante en el que se detiene?

Posición y velocidad en función del tiempo

Conforme a las definiciones de velocidad instantánea y aceleración instantánea, podemos escribir:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}=\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t}\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,\mathrm{d}\vec{r}=\vec{v}\,\mathrm{d}t \,\, ;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \vec{a}=\frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t}=-C t\,\vec{\imath}\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,\mathrm{d}\vec{v}=-C t\,\mathrm{d}t\,\vec{\imath}}

Conocemos la velocidad inicial de la partícula, y podemos suponer sin pérdida de generalidad que su posición inicial coincide con el origen de coordenadas:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{r}(0)=\vec{0}\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \vec{v}(0)=v_0\,\vec{\imath}}

Por tanto, determinar la velocidad y la posición de la partícula en función del tiempo se reduce a integrar su aceleración una y dos veces, respectivamente, entre el instante inicial y el instante genérico Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t\,} :

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{lll} \displaystyle\int_{\vec{v}(0)}^{\vec{v}(t)}\!\mathrm{d}\vec{v}=-C\left(\displaystyle\int_{0}^{t}\!t\,\mathrm{d}t\right)\vec{\imath} & \,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, & \vec{v}(t)=\vec{v}(0)-\displaystyle\frac{Ct^2}{2}\,\vec{\imath}=\left(v_0-\displaystyle\frac{Ct^2}{2}\right)\,\vec{\imath} \\ \\ \displaystyle\int_{\vec{r}(0)}^{\vec{r}(t)}\!\mathrm{d}\vec{r}=\left[\displaystyle\int_{0}^{t}\left(v_0-\displaystyle\frac{Ct^2}{2}\right)\,\mathrm{d}t\right]\vec{\imath} & \,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, & \vec{r}(t)=\left[\,v_0\,t-\displaystyle\frac{Ct^3}{6}\,\right]\,\vec{\imath}\end{array} }

Instante en el que la partícula se detiene

Igualando a cero la velocidad de la partícula, determinamos el instante (Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,\,t=t^{*}\,} ) en el que se detiene:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}(t^{*})=\vec{0} \,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, \left(v_0-\displaystyle\frac{C(t^{*})^2}{2}\right)\,\vec{\imath}=\vec{0}\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,v_0-\displaystyle\frac{C(t^{*})^2}{2}=0\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,t^{*}=\displaystyle\sqrt{\frac{2v_0}{C}} }

Celeridad media en el intervalo de tiempo propuesto

Nótese que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v_x(t)=v_0-\displaystyle\frac{Ct^2}{2}\,} es positiva en el intervalo de tiempo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 0< t<t^{*}\,} , lo cual implica que la partícula se mueve siempre en el sentido positivo del eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,OX\,} durante dicho intervalo. Por tanto, la distancia $L\,$ recorrida por la partícula durante el intervalo propuesto coincide con el incremento de su coordenada $\Delta \,x\,$. Teniendo en cuenta que $x(t)=v_{0}\,t-\displaystyle {\frac {Ct^{3}}{6}}\,$, se obtiene:

$L=\Delta \,x=x(t^{*})-x(0)=v_{0}\,t^{*}-\displaystyle {\frac {C(t^{*})^{3}}{6}}=v_{0}\displaystyle {\sqrt {\frac {2v_{0}}{C}}}-\displaystyle {\frac {C}{6}}\displaystyle {\frac {2v_{0}}{C}}\displaystyle {\sqrt {\frac {2v_{0}}{C}}}={\frac {2v_{0}}{3}}{\sqrt {\frac {2v_{0}}{C}}}$

Finalmente, la celeridad media de la partícula en el intervalo de tiempo propuesto viene dada por el siguiente cociente:

$\left\langle v\right\rangle ={\frac {L}{\Delta \,t}}={\frac {L}{t^{*}}}=\displaystyle {\frac {2v_{0}}{3}}$