No Boletín - Altura de un triángulo (Ex.Oct/19)

Enunciado

Sea un triángulo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,ABC\,} arbitrario. Denominamos Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,h_{AB}\,} a la longitud de su altura respecto del lado Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,AB\,} . ¿Cuál de las siguientes igualdades es correcta?

(NOTA: sólo una de las cuatro opciones es correcta).

(1) Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle h_{AB}=\displaystyle\frac{|(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC})\times\overrightarrow{AB}\,|}{|\overrightarrow{AB}\,|^2}\,}

(2) Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle h_{AB}=\displaystyle\frac{|(\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AB})\,\overrightarrow{AC}\,|}{|\overrightarrow{AC}\,|^2}\,}

(3) Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle h_{AB}=\displaystyle\frac{|(\overrightarrow{AC}\times\overrightarrow{AB})\times\overrightarrow{AC}\,|}{|\overrightarrow{AC}\,|^2}\,}

(4) Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle h_{AB}=\displaystyle\frac{|(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC})\,\overrightarrow{AB}\,|}{|\overrightarrow{AB}\,|^2}\,}

Solución

Utilizando una fórmula deducida en la teoría, descomponemos el vector Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{AC}\,} en la suma de un vector paralelo a Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{AB}\,} (vector Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{AD}\,} ) y un vector perpendicular a Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{AB}\,} (vector Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{DC}\,} ):

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{AC}=\underbrace{\displaystyle\frac{(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}\,)\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}\,|^2}}_{\overrightarrow{AD}}\,+\,\underbrace{\displaystyle\frac{(\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}\,)\times\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}\,|^2}}_{\overrightarrow{DC}} }

Resulta obvio que la longitud de la altura buscada coincide precisamente con el módulo del vector perpendicular a Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{AB}\,} de la citada descomposición, es decir:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle h_{AB}=|\overrightarrow{DC}\,|=\displaystyle\frac{|(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC})\times\overrightarrow{AB}\,|}{|\overrightarrow{AB}\,|^2} }

Así que la solución correcta es la (1).