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No Boletín - Altura de un triángulo (Ex.Oct/19)

De Laplace

1 Enunciado

Sea un triángulo \,ABC\, arbitrario. Denominamos \,h_{AB}\, a la longitud de su altura respecto del lado \,AB\,. ¿Cuál de las siguientes igualdades es correcta?

(NOTA: sólo una de las cuatro opciones es correcta).

(1) h_{AB}=\displaystyle\frac{|(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC})\times\overrightarrow{AB}\,|}{|\overrightarrow{AB}\,|^2}\,
(2) h_{AB}=\displaystyle\frac{|(\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AB})\,\overrightarrow{AC}\,|}{|\overrightarrow{AC}\,|^2}\,
(3) h_{AB}=\displaystyle\frac{|(\overrightarrow{AC}\times\overrightarrow{AB})\times\overrightarrow{AC}\,|}{|\overrightarrow{AC}\,|^2}\,
(4) h_{AB}=\displaystyle\frac{|(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC})\,\overrightarrow{AB}\,|}{|\overrightarrow{AB}\,|^2}\,

2 Solución

Utilizando una fórmula deducida en la teoría, descomponemos el vector \overrightarrow{AC}\, en la suma de un vector paralelo a \overrightarrow{AB}\, (vector \overrightarrow{AD}\,) y un vector perpendicular a \overrightarrow{AB}\, (vector \overrightarrow{DC}\,):


\overrightarrow{AC}=\underbrace{\displaystyle\frac{(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}\,)\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}\,|^2}}_{\overrightarrow{AD}}\,+\,\underbrace{\displaystyle\frac{(\overrightarrow{AB}\times
\overrightarrow{AC}\,)\times\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}\,|^2}}_{\overrightarrow{DC}}

Resulta obvio que la longitud de la altura buscada coincide precisamente con el módulo del vector perpendicular a \overrightarrow{AB}\, de la citada descomposición, es decir:


h_{AB}=|\overrightarrow{DC}\,|=\displaystyle\frac{|(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC})\times\overrightarrow{AB}\,|}{|\overrightarrow{AB}\,|^2}

Así que la solución correcta es la (1).

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