No Boletín - Afirmación falsa II (Ex.Oct/18)

Enunciado

Sea la terna de vectores libres:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}=(-\vec{\imath}+\vec{\jmath}\,)\,\mbox{m}\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\, \vec{b}=(\,\vec{\imath}+\vec{\jmath}+\vec{k}\,)\,\mbox{m}\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\, \,\vec{c}=(-\vec{\imath}+\vec{k}\,)\,\mbox{m} }

¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre dicha terna es falsa?

(1) Dos de sus vectores forman entre sí un ángulo de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (\pi/3)\,\mathrm{rad}\,} .

(2) Sus tres vectores definen un paralelepípedo de volumen Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 3\,\mathrm{m}^3\,} .

(3) Dos de sus vectores definen un paralelogramo de área Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 2\,\mathrm{m}^2\,} .

(4) Uno de sus vectores es ortogonal a los otros dos.

Solución

Efectuando los productos escalares de las tres parejas posibles de vectores, encontramos que el vector ${\vec {b}}\,$ verifica la condición de ortogonalidad (producto escalar nulo) respecto a los otros dos vectores:

${\vec {a}}\,\cdot \,{\vec {b}}=0\,\,\,;\,\,\,\,\,\,{\vec {b}}\,\cdot \,{\vec {c}}=0\,\,\,;\,\,\,\,\,\,{\vec {c}}\,\cdot \,{\vec {a}}\neq 0$

Por tanto, la afirmación (4) es correcta.

Ahora determinamos el ángulo $\beta \,$ que forman entre sí los dos vectores que no son mutuamente ortogonales (${\vec {c}}\,$ y ${\vec {a}}\,$):

$\mathrm {cos} (\beta )=\displaystyle {\frac {{\vec {c}}\,\cdot \,{\vec {a}}}{|{\vec {c}}|\,|{\vec {a}}|}}={\frac {1}{{\sqrt {2}}{\sqrt {2}}}}={\frac {1}{2}}\,\,\,\longrightarrow \,\,\,\beta =(\pi /3)\,\mathrm {rad}$

Por tanto, la afirmación (1) es correcta.

Por otra parte, el volumen del paralelepípedo definido por la terna de vectores libres es igual al valor absoluto de su producto mixto:

$|\,{\vec {a}}\,\cdot \,(\,{\vec {b}}\,\times \,{\vec {c}}\,)\,|=\left|\left|{\begin{array}{rcc}-1&1&0\\1&1&1\\-1&0&1\end{array}}\,\,\right|\right|=|-3\,|=3\,\mathrm {m} ^{3}$

Por tanto, la afirmación (2) es correcta.

Finalmente, determinamos el área del paralelogramo definido por cada pareja posible de vectores calculando el módulo de su producto vectorial:

$|\,{\vec {a}}\,\times \,{\vec {b}}\,|=\left|\left|{\begin{array}{rcc}{\vec {\imath }}&{\vec {\jmath }}&{\vec {k}}\\-1&1&0\\1&1&1\end{array}}\,\,\right|\right|=|\,{\vec {\imath }}\,+\,{\vec {\jmath }}\,-\,2\,{\vec {k}}\,|={\sqrt {6}}\,\mathrm {m} ^{2}$ $|\,{\vec {b}}\,\times \,{\vec {c}}\,|=\left|\left|{\begin{array}{rcc}{\vec {\imath }}&{\vec {\jmath }}&{\vec {k}}\\1&1&1\\-1&0&1\end{array}}\,\,\right|\right|=|\,{\vec {\imath }}\,-\,2\,{\vec {\jmath }}\,+\,{\vec {k}}\,|={\sqrt {6}}\,\mathrm {m} ^{2}$ $|\,{\vec {c}}\,\times \,{\vec {a}}\,|=\left|\left|{\begin{array}{rcc}{\vec {\imath }}&{\vec {\jmath }}&{\vec {k}}\\-1&0&1\\-1&1&0\end{array}}\,\,\right|\right|=|-\,{\vec {\imath }}\,-\,{\vec {\jmath }}\,-\,{\vec {k}}\,|={\sqrt {3}}\,\mathrm {m} ^{2}$

Por tanto, la afirmación (3) es la que es FALSA.