No Boletín - Afirmación falsa II (Ex.Oct/18)

Enunciado

Sea la terna de vectores libres:

${\vec {a}}=(-{\vec {\imath }}+{\vec {\jmath }}\,)\,{\mbox{m}}\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\vec {b}}=(\,{\vec {\imath }}+{\vec {\jmath }}+{\vec {k}}\,)\,{\mbox{m}}\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\vec {c}}=(-{\vec {\imath }}+{\vec {k}}\,)\,{\mbox{m}}$

¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre dicha terna es falsa?

(1) Dos de sus vectores forman entre sí un ángulo de $(\pi /3)\,\mathrm {rad} \,$.

(2) Sus tres vectores definen un paralelepípedo de volumen $3\,\mathrm {m} ^{3}\,$.

(3) Dos de sus vectores definen un paralelogramo de área $2\,\mathrm {m} ^{2}\,$.

(4) Uno de sus vectores es ortogonal a los otros dos.

Solución

Efectuando los productos escalares de las tres parejas posibles de vectores, encontramos que el vector ${\vec {b}}\,$ verifica la condición de ortogonalidad (producto escalar nulo) respecto a los otros dos vectores:

${\vec {a}}\,\cdot \,{\vec {b}}=0\,\,\,;\,\,\,\,\,\,{\vec {b}}\,\cdot \,{\vec {c}}=0\,\,\,;\,\,\,\,\,\,{\vec {c}}\,\cdot \,{\vec {a}}\neq 0$

Por tanto, la afirmación (4) es correcta.

Ahora determinamos el ángulo $\beta \,$ que forman entre sí los dos vectores que no son mutuamente ortogonales (${\vec {c}}\,$ y ${\vec {a}}\,$):

$\mathrm {cos} (\beta )=\displaystyle {\frac {{\vec {c}}\,\cdot \,{\vec {a}}}{|{\vec {c}}|\,|{\vec {a}}|}}={\frac {1}{{\sqrt {2}}{\sqrt {2}}}}={\frac {1}{2}}\,\,\,\longrightarrow \,\,\,\beta =(\pi /3)\,\mathrm {rad}$

Por tanto, la afirmación (1) es correcta.

Por otra parte, el volumen del paralelepípedo definido por la terna de vectores libres es igual al valor absoluto de su producto mixto:

$|\,{\vec {a}}\,\cdot \,(\,{\vec {b}}\,\times \,{\vec {c}}\,)\,|=\left|\left|{\begin{array}{rcc}-1&1&0\\1&1&1\\-1&0&1\end{array}}\,\,\right|\right|=|-3\,|=3\,\mathrm {m} ^{3}$

Por tanto, la afirmación (2) es correcta.

Finalmente, determinamos el área del paralelogramo definido por cada pareja posible de vectores calculando el módulo de su producto vectorial:

$|\,{\vec {a}}\,\times \,{\vec {b}}\,|=\left|\left|{\begin{array}{rcc}{\vec {\imath }}&{\vec {\jmath }}&{\vec {k}}\\-1&1&0\\1&1&1\end{array}}\,\,\right|\right|=|\,{\vec {\imath }}\,+\,{\vec {\jmath }}\,-\,2\,{\vec {k}}\,|={\sqrt {6}}\,\mathrm {m} ^{2}$ $|\,{\vec {b}}\,\times \,{\vec {c}}\,|=\left|\left|{\begin{array}{rcc}{\vec {\imath }}&{\vec {\jmath }}&{\vec {k}}\\1&1&1\\-1&0&1\end{array}}\,\,\right|\right|=|\,{\vec {\imath }}\,-\,2\,{\vec {\jmath }}\,+\,{\vec {k}}\,|={\sqrt {6}}\,\mathrm {m} ^{2}$ $|\,{\vec {c}}\,\times \,{\vec {a}}\,|=\left|\left|{\begin{array}{rcc}{\vec {\imath }}&{\vec {\jmath }}&{\vec {k}}\\-1&0&1\\-1&1&0\end{array}}\,\,\right|\right|=|-\,{\vec {\imath }}\,-\,{\vec {\jmath }}\,-\,{\vec {k}}\,|={\sqrt {3}}\,\mathrm {m} ^{2}$

Por tanto, la afirmación (3) es la que es FALSA.