Enunciado

Sea la terna de vectores libres:

¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre dicha terna es falsa?

(1) Dos de sus vectores forman entre sí un ángulo de .
(2) Sus tres vectores definen un paralelepípedo de volumen .
(3) Dos de sus vectores definen un paralelogramo de área .
(4) Uno de sus vectores es ortogonal a los otros dos.

Solución

Efectuando los productos escalares de las tres parejas posibles de vectores, encontramos que el vector verifica la condición de ortogonalidad (producto escalar nulo) respecto a los otros dos vectores:

Por tanto, la afirmación (4) es correcta.

Ahora determinamos el ángulo que forman entre sí los dos vectores que no son mutuamente ortogonales ( y ):

Por tanto, la afirmación (1) es correcta.

Por otra parte, el volumen del paralelepípedo definido por la terna de vectores libres es igual al valor absoluto de su producto mixto:

Por tanto, la afirmación (2) es correcta.

Finalmente, determinamos el área del paralelogramo definido por cada pareja posible de vectores calculando el módulo de su producto vectorial:

Por tanto, la afirmación (3) es la que es FALSA.