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No Boletín - Volumen de un paralelepípedo II (Ex.Oct/14)

De Laplace

1 Enunciado

Sea \theta\, el ángulo formado por dos vectores libres \vec{a}\, y \vec{b}\,. ¿Cuál es el volumen del paralelepípedo cuyas aristas vienen definidas por la terna \{\vec{a}\,,\,\vec{b}\,,\,\vec{a}\times\vec{b}\,\}\,?

2 Solución

El volumen V\, de un paralelepípedo es igual al valor absoluto del producto mixto de los tres vectores-aristas que definen el paralelepípedo. Así que, en este caso, tendremos:


V=\left|\,\vec{a}\cdot\left[\,\vec{b}\times\left(\vec{a}\times\vec{b}\,\right)\right]\right|

Pero desarrollando el doble producto vectorial que aparece entre corchetes, llegamos a:


V=\left|\,\vec{a}\cdot\left[(\vec{b}\cdot\vec{b}\,)\,\vec{a}-(\vec{b}\cdot\vec{a}\,)\,\vec{b}\,\right]\right|

Aplicando la propiedad distributiva del producto escalar respecto a la suma de vectores para eliminar los corchetes, y teniendo en cuenta que \vec{a}\cdot\vec{a}=|\vec{a}\,|^2\,, que \vec{b}\cdot\vec{b}=|\vec{b}\,|^2\, y que \vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{b}\cdot\vec{a}=|\vec{a}\,||\vec{b}\,|\,\mathrm{cos}(\theta)\,, obtenemos:


V=\left|\,(\vec{b}\cdot\vec{b}\,)(\vec{a}\cdot\vec{a}\,)-(\vec{b}\cdot\vec{a}\,)(\vec{a}\cdot\vec{b}\,)\right|=\left||\vec{a}\,|^2|\vec{b}\,|^2-|\vec{a}\,|^2|\vec{b}\,|^2\,\mathrm{cos}^2(\theta)\right|=|\vec{a}\,|^2|\vec{b}\,|^2\left|1-\mathrm{cos}^2(\theta)\right|=|\vec{a}\,|^2|\vec{b}\,|^2\,\mathrm{sen}^2(\theta)

Al mismo resultado se llega de forma más rápida si se utiliza la propiedad de permutabilidad cíclica del producto mixto de partida:


V=\left|\,\vec{a}\cdot\left[\,\vec{b}\times\left(\vec{a}\times\vec{b}\,\right)\right]\right|=\left|\left(\vec{a}\times\vec{b}\,\right)\cdot\left(\vec{a}\times\vec{b}\,\right)\right|=\left|\vec{a}\times\vec{b}\,\right|^2=|\vec{a}\,|^2|\vec{b}\,|^2\,\mathrm{sen}^2(\theta)

donde se ha tenido en cuenta que |\,\vec{a}\times\vec{b}\,|=|\vec{a}\,||\vec{b}\,|\,\mathrm{sen}(\theta)\,.

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