No Boletín - Volumen de un paralelepípedo II (Ex.Oct/14)

Enunciado

Sea $\theta \,$ el ángulo formado por dos vectores libres ${\vec {a}}\,$ y ${\vec {b}}\,$. ¿Cuál es el volumen del paralelepípedo cuyas aristas vienen definidas por la terna $\{{\vec {a}}\,,\,{\vec {b}}\,,\,{\vec {a}}\times {\vec {b}}\,\}\,$?

Solución

El volumen $V\,$ de un paralelepípedo es igual al valor absoluto del producto mixto de los tres vectores-aristas que definen el paralelepípedo. Así que, en este caso, tendremos:

$V=\left|\,{\vec {a}}\cdot \left[\,{\vec {b}}\times \left({\vec {a}}\times {\vec {b}}\,\right)\right]\right|$

Pero desarrollando el doble producto vectorial que aparece entre corchetes, llegamos a:

$V=\left|\,{\vec {a}}\cdot \left[({\vec {b}}\cdot {\vec {b}}\,)\,{\vec {a}}-({\vec {b}}\cdot {\vec {a}}\,)\,{\vec {b}}\,\right]\right|$

Aplicando la propiedad distributiva del producto escalar respecto a la suma de vectores para eliminar los corchetes, y teniendo en cuenta que ${\vec {a}}\cdot {\vec {a}}=|{\vec {a}}\,|^{2}\,$, que ${\vec {b}}\cdot {\vec {b}}=|{\vec {b}}\,|^{2}\,$ y que ${\vec {a}}\cdot {\vec {b}}={\vec {b}}\cdot {\vec {a}}=|{\vec {a}}\,||{\vec {b}}\,|\,\mathrm {cos} (\theta )\,$, obtenemos:

$V=\left|\,({\vec {b}}\cdot {\vec {b}}\,)({\vec {a}}\cdot {\vec {a}}\,)-({\vec {b}}\cdot {\vec {a}}\,)({\vec {a}}\cdot {\vec {b}}\,)\right|=\left||{\vec {a}}\,|^{2}|{\vec {b}}\,|^{2}-|{\vec {a}}\,|^{2}|{\vec {b}}\,|^{2}\,\mathrm {cos} ^{2}(\theta )\right|=|{\vec {a}}\,|^{2}|{\vec {b}}\,|^{2}\left|1-\mathrm {cos} ^{2}(\theta )\right|=|{\vec {a}}\,|^{2}|{\vec {b}}\,|^{2}\,\mathrm {sen} ^{2}(\theta )$

Al mismo resultado se llega de forma más rápida si se utiliza la propiedad de permutabilidad cíclica del producto mixto de partida:

$V=\left|\,{\vec {a}}\cdot \left[\,{\vec {b}}\times \left({\vec {a}}\times {\vec {b}}\,\right)\right]\right|=\left|\left({\vec {a}}\times {\vec {b}}\,\right)\cdot \left({\vec {a}}\times {\vec {b}}\,\right)\right|=\left|{\vec {a}}\times {\vec {b}}\,\right|^{2}=|{\vec {a}}\,|^{2}|{\vec {b}}\,|^{2}\,\mathrm {sen} ^{2}(\theta )$

donde se ha tenido en cuenta que $|\,{\vec {a}}\times {\vec {b}}\,|=|{\vec {a}}\,||{\vec {b}}\,|\,\mathrm {sen} (\theta )\,$.