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No Boletín - Movimiento circular con celeridad variable en el tiempo (Ex.Dic/12)

De Laplace

1 Enunciado

Una partícula realiza un movimiento circular con celeridad variable en el tiempo conforme a la ley:


v=C\,t^{n}

donde C\, es una constante de valor igual a 0,5\,\mathrm{m/s}^{3}\,.

  1. ¿Cuál es el valor del exponente n\,?
  2. ¿Cómo varía durante este movimiento el cociente entre la aceleración normal y la aceleración tangencial de la partícula?

2 Valor del exponente n

Al decirnos que el valor de la constante C\, es 0,5\,\mathrm{m/s}^{3}\,, se nos está revelando cuáles son las dimensiones de dicha constante. En efecto:


\mathrm{unidad}\,\, \mathrm{SI}\,\, \mathrm{de}\,\, C = 1\,\mathrm{m/s}^{3}\,\,\,\,\,\, \Longrightarrow \,\,\,\,\,\, 
[C]=LT^{-3}

Entonces, el valor del exponente n\, se puede deducir fácilmente exigiendo homogeneidad dimensional a la expresión que se nos ha dado para la celeridad en función del tiempo:


[v]=[C]\,[t]^{n}\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,LT^{-1}=(LT^{-3})T^{\, n}\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,LT^{-1}=LT^{\,n-3}

Igualando entre sí los exponentes de la magnitud básica "tiempo" en ambos miembros, obtenemos:

− 1 = n − 3

de donde se deduce:

n = 2

Por tanto, la celeridad varía con el tiempo conforme a la siguiente expresión:


v=C\,t^2

3 Cociente entre las componentes intrínsecas de la aceleración

La aceleración normal de una partícula está relacionada con su celeridad mediante la fórmula:


a_n=\frac{v^2}{R_{\kappa}}

donde R_{\kappa}\, es el radio de curvatura. Pero nos dice el enunciado que el movimiento es circular. Así que sabemos que el radio de curvatura es independiente del tiempo (es una constante igual al radio geométrico R\, de la circunferencia). Por tanto, sustituyendo la expresión de la celeridad en función del tiempo, obtenemos la siguiente aceleración normal:


a_n=\frac{C^2t^4}{R}

Por otra parte, la aceleración tangencial de una partícula es la derivada temporal de su celeridad:


a_t=\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}

Así que, haciendo la derivada en el caso que nos ocupa, se obtiene:


a_t=\frac{\mathrm{d}(C\,t^2)}{\mathrm{d}t}=2\,C\,t

En definitiva, el cociente entre la aceleración normal y la aceleración tangencial de la partícula vale:


\frac{a_n}{a_t}=\frac{C^2t^4}{R}\frac{1}{2\,C\,t}=\frac{C}{2R}\,t^3

Por tanto, respondemos a la pregunta que se nos ha formulado diciendo que este cociente aumenta cúbicamente con el tiempo.

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