No Boletín - Ley de Poiseuille (Ex.Ene/13)

Enunciado

Considérese un tubo cilíndrico, de radio $r\,$ y longitud $L\,$, a lo largo del cual fluye un cierto líquido. Bajo ciertas condiciones, el volumen $\Delta V\,$ de líquido que pasa por el tubo en un intervalo de tiempo $\Delta \,t\,$ viene dado por la fórmula:

${\frac {\Delta V}{\Delta \,t}}={\frac {\pi r^{n}}{8\eta L}}\,\Delta p$

donde Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta p\,} es la diferencia de presión entre los extremos del tubo, y $\eta \,$ es la viscosidad dinámica del líquido (la unidad de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \eta\,} en el SI es Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 1\,\mathrm{kg}\!\cdot\!\mathrm{m}^{-1}\!\!\cdot\!\mathrm{s}^{-1}\,} ). ¿Cuál es necesariamente el valor del exponente Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle n\,} del radio tubular en la fórmula anterior?

Solución

Para responder esta cuestión, basta con exigir homogeneidad dimensional a la fórmula que se nos ha dado en el enunciado. Al tomar dimensiones en ella, desaparecen del segundo miembro los factores numéricos "Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \pi\,} " (en el numerador) y "8" (en el denominador) por ser adimensionales, y se obtiene:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{[\Delta V]}{[\Delta\, t\,]}=\frac{[r\,]^{n}}{[\eta\,][L\,]}\,[\Delta p\,] }

Observamos primero que algunas de las magnitudes presentes en la fórmula son magnitudes básicas. Es el caso del radio tubular Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle r\,} (longitud), de la longitud tubular Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle L\,} (longitud) y del intervalo de tiempo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta\, t\,} (tiempo).

Hay un segundo grupo de magnitudes que son magnitudes derivadas pero de cuyas dimensiones el enunciado no nos informa. Se considera que debemos conocerlas, bien por su sencillez o bien por haber aparecido en otros ejercicios de boletín hechos en clase. Es el caso del volumen Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta V\,} (longitud al cubo) y de la diferencia de presión $\Delta p\,$ (fuerza partido por superficie):

$[\Delta V]=L^{3}\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,[\Delta p\,]={\frac {[F\,]}{[S\,]}}={\frac {MLT^{-2}}{L^{2}}}=ML^{-1}T^{-2}$

Sin embargo, sí que nos dice el enunciado cuál es la unidad SI de la viscosidad dinámica $\eta \,$, lo cual nos permite deducir cuáles son las dimensiones de dicha magnitud:

$\mathrm {unidad} \,\,\mathrm {SI} \,\,\mathrm {de} \,\,\eta =1\,\mathrm {kg} \!\cdot \!\mathrm {m} ^{-1}\!\!\cdot \!\mathrm {s} ^{-1}\,\,\,\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,\,\,\,[\eta \,]=ML^{-1}T^{-1}$

Sustituyendo, pues, las dimensiones de todas las magnitudes en la ecuación de homogeneidad dimensional, se obtiene:

$\,\,\,\,\,{\frac {[\Delta V]}{[\Delta \,t\,]}}={\frac {[r\,]^{n}}{[\eta \,][L\,]}}\,[\Delta p\,]\,\,\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,\,\,{\frac {L^{3}}{T}}={\frac {L^{\,n}}{ML^{-1}T^{-1}L}}\,ML^{-1}T^{-2}\,\,\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,\,\,L^{3}T^{-1}=L^{\,n-1}T^{-1}\,\,\,\,\,\Longrightarrow$

$\,\,\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,\,\,3=n-1\,\,\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,\,\,n=4$