No Boletín - Ley de Poiseuille (Ex.Ene/13)

Enunciado

Considérese un tubo cilíndrico, de radio Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle r\,} y longitud Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle L\,} , a lo largo del cual fluye un cierto líquido. Bajo ciertas condiciones, el volumen Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta V\,} de líquido que pasa por el tubo en un intervalo de tiempo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta\, t\,} viene dado por la fórmula:

${\frac {\Delta V}{\Delta \,t}}={\frac {\pi r^{n}}{8\eta L}}\,\Delta p$

donde $\Delta p\,$ es la diferencia de presión entre los extremos del tubo, y $\eta \,$ es la viscosidad dinámica del líquido (la unidad de $\eta \,$ en el SI es $1\,\mathrm {kg} \!\cdot \!\mathrm {m} ^{-1}\!\!\cdot \!\mathrm {s} ^{-1}\,$). ¿Cuál es necesariamente el valor del exponente $n\,$ del radio tubular en la fórmula anterior?

Solución

Para responder esta cuestión, basta con exigir homogeneidad dimensional a la fórmula que se nos ha dado en el enunciado. Al tomar dimensiones en ella, desaparecen del segundo miembro los factores numéricos "$\pi \,$" (en el numerador) y "8" (en el denominador) por ser adimensionales, y se obtiene:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{[\Delta V]}{[\Delta\, t\,]}=\frac{[r\,]^{n}}{[\eta\,][L\,]}\,[\Delta p\,] }

Observamos primero que algunas de las magnitudes presentes en la fórmula son magnitudes básicas. Es el caso del radio tubular Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle r\,} (longitud), de la longitud tubular Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle L\,} (longitud) y del intervalo de tiempo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta\, t\,} (tiempo).

Hay un segundo grupo de magnitudes que son magnitudes derivadas pero de cuyas dimensiones el enunciado no nos informa. Se considera que debemos conocerlas, bien por su sencillez o bien por haber aparecido en otros ejercicios de boletín hechos en clase. Es el caso del volumen Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta V\,} (longitud al cubo) y de la diferencia de presión Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta p\,} (fuerza partido por superficie):

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle [\Delta V]=L^3\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,[\Delta p\,]=\frac{[F\,]}{[S\,]}=\frac{MLT^{-2}}{L^2}=ML^{-1}T^{-2} }

Sin embargo, sí que nos dice el enunciado cuál es la unidad SI de la viscosidad dinámica Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \eta\,} , lo cual nos permite deducir cuáles son las dimensiones de dicha magnitud:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathrm{unidad}\,\,\mathrm{SI}\,\,\mathrm{de}\,\, \eta = 1\,\mathrm{kg}\!\cdot\!\mathrm{m}^{-1}\!\!\cdot\!\mathrm{s}^{-1}\,\,\,\,\,\, \Longrightarrow \,\,\,\,\,\,[\eta\,]=ML^{-1}T^{-1} }

Sustituyendo, pues, las dimensiones de todas las magnitudes en la ecuación de homogeneidad dimensional, se obtiene:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,\,\,\,\,\frac{[\Delta V]}{[\Delta\, t\,]}=\frac{[r\,]^{n}}{[\eta\,][L\,]}\,[\Delta p\,]\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\, \frac{L^3}{T}=\frac{L^{\, n}}{ML^{-1}T^{-1}L}\,ML^{-1}T^{-2}\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\, L^3T^{-1}=L^{\, n-1}T^{-1}\,\,\,\,\,\Longrightarrow}

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\, 3=n-1 \,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\, n=4 }