No Boletín - Ley de Poiseuille (Ex.Ene/13)

Enunciado

Considérese un tubo cilíndrico, de radio $r\,$ y longitud $L\,$, a lo largo del cual fluye un cierto líquido. Bajo ciertas condiciones, el volumen $\Delta V\,$ de líquido que pasa por el tubo en un intervalo de tiempo $\Delta \,t\,$ viene dado por la fórmula:

${\frac {\Delta V}{\Delta \,t}}={\frac {\pi r^{n}}{8\eta L}}\,\Delta p$

donde $\Delta p\,$ es la diferencia de presión entre los extremos del tubo, y $\eta \,$ es la viscosidad dinámica del líquido (la unidad de $\eta \,$ en el SI es $1\,\mathrm {kg} \!\cdot \!\mathrm {m} ^{-1}\!\!\cdot \!\mathrm {s} ^{-1}\,$). ¿Cuál es necesariamente el valor del exponente $n\,$ del radio tubular en la fórmula anterior?

Solución

Para responder esta cuestión, basta con exigir homogeneidad dimensional a la fórmula que se nos ha dado en el enunciado. Al tomar dimensiones en ella, desaparecen del segundo miembro los factores numéricos "$\pi \,$" (en el numerador) y "8" (en el denominador) por ser adimensionales, y se obtiene:

${\frac {[\Delta V]}{[\Delta \,t\,]}}={\frac {[r\,]^{n}}{[\eta \,][L\,]}}\,[\Delta p\,]$

Observamos primero que algunas de las magnitudes presentes en la fórmula son magnitudes básicas. Es el caso del radio tubular $r\,$ (longitud), de la longitud tubular $L\,$ (longitud) y del intervalo de tiempo $\Delta \,t\,$ (tiempo).

Hay un segundo grupo de magnitudes que son magnitudes derivadas pero de cuyas dimensiones el enunciado no nos informa. Se considera que debemos conocerlas, bien por su sencillez o bien por haber aparecido en otros ejercicios de boletín hechos en clase. Es el caso del volumen $\Delta V\,$ (longitud al cubo) y de la diferencia de presión $\Delta p\,$ (fuerza partido por superficie):

$[\Delta V]=L^{3}\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,[\Delta p\,]={\frac {[F\,]}{[S\,]}}={\frac {MLT^{-2}}{L^{2}}}=ML^{-1}T^{-2}$

Sin embargo, sí que nos dice el enunciado cuál es la unidad SI de la viscosidad dinámica $\eta \,$, lo cual nos permite deducir cuáles son las dimensiones de dicha magnitud:

$\mathrm {unidad} \,\,\mathrm {SI} \,\,\mathrm {de} \,\,\eta =1\,\mathrm {kg} \!\cdot \!\mathrm {m} ^{-1}\!\!\cdot \!\mathrm {s} ^{-1}\,\,\,\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,\,\,\,[\eta \,]=ML^{-1}T^{-1}$

Sustituyendo, pues, las dimensiones de todas las magnitudes en la ecuación de homogeneidad dimensional, se obtiene:

$\,\,\,\,\,{\frac {[\Delta V]}{[\Delta \,t\,]}}={\frac {[r\,]^{n}}{[\eta \,][L\,]}}\,[\Delta p\,]\,\,\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,\,\,{\frac {L^{3}}{T}}={\frac {L^{\,n}}{ML^{-1}T^{-1}L}}\,ML^{-1}T^{-2}\,\,\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,\,\,L^{3}T^{-1}=L^{\,n-1}T^{-1}\,\,\,\,\,\Longrightarrow$

$\,\,\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,\,\,3=n-1\,\,\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,\,\,n=4$