No Boletín - Intensidad de una onda sonora (Ex.Nov/12)

Enunciado

La intensidad Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I\,} de una onda sonora armónica propagándose en el seno de un gas puede calcularse mediante la fórmula:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I=\frac{(p_{\mathrm{max}})^2}{2\rho_o v} }

donde Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle p_{\mathrm{max}}\,} es la amplitud de presión (dimensiones de presión), Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \rho_o\,} es la densidad del gas en el equilibrio (se mide en kg/mError al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle ^3} en el SI), y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v\,} es la velocidad de propagación de la onda.

1. ¿Cuál es la ecuación dimensional de $I\,$?
2. ¿En qué unidad se mide Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I\,} en el SI?

Ecuación dimensional de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I\,}

Tomando dimensiones en la fórmula facilitada, desaparece del denominador el factor numérico "2" por ser adimensional, y se obtiene:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle [I\,]=\frac{[p_{\mathrm{max}}]^2}{[\rho_o][v]} }

El enunciado del ejercicio no nos informa de cuáles son las dimensiones de una presión (fuerza partido por superficie) y de una velocidad porque se considera que debemos conocerlas (aparecen en problemas de boletín hechos en clase):

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle [p_{\mathrm{max}}]=\frac{[F\,]}{[S\,]}=\frac{MLT^{-2}}{L^2}=ML^{-1}T^{-2}\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, [v]=LT^{-1} }

Sin embargo, sí se nos dice que la unidad SI de densidad es el kg/mError al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle ^3} , lo cual nos permite deducir cuáles son las dimensiones de una densidad:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathrm{unidad}\,\,\mathrm{SI}\,\,\mathrm{de}\,\, \rho_o = 1\,\mathrm{kg/m}^3\,\,\,\,\,\, \Longrightarrow \,\,\,\,\,\,[\rho_o]=ML^{-3} }

Sustituyendo las dimensiones de presión, velocidad y densidad, obtenemos al fin la ecuación dimensional de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,I\,} :

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle [I\,]=\frac{[p_{\mathrm{max}}]^2}{[\rho_o][v]}=\frac{(ML^{-1}T^{-2})^2}{ML^{-3}LT^{-1}}=MT^{-3} }

Unidad de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I\,} en el SI

Una vez hallada la ecuación dimensional de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,I\,} , su unidad en el SI se deduce fácilmente a partir del correspondiente producto de potencias de las unidades de las magnitudes básicas en el SI:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle [I\,]=MT^{-3}\,\,\,\,\,\, \Longrightarrow \,\,\,\,\,\,\mathrm{unidad}\,\,\mathrm{SI}\,\,\mathrm{de}\,\, I = 1\,\mathrm{kg}\cdot\mathrm{s}^{-3} }

Pero es más frecuente expresar la unidad SI de la intensidad de una onda de este otro modo equivalente:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 1\,\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{s}^3} = 1\,\frac{\mathrm{N}\cdot\mathrm{s}^2}{\mathrm{m}\cdot\mathrm{s}^3} = 1\,\frac{\mathrm{N}}{\mathrm{m}\cdot\mathrm{s}} = 1\,\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{s}} = 1\,\frac{\mathrm{W}}{\mathrm{m}^2}\,\,\,\,\,\, \Longrightarrow \,\,\,\,\,\,\mathrm{expresion}\,\,\mathrm{usual}\,\,\mathrm{de}\,\,\mathrm{la}\,\,\mathrm{unidad}\,\,\mathrm{SI}\,\,\mathrm{de}\,\, I = 1\,\mathrm{W/m}^2 }

donde se ha tenido en cuenta que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 1\, \mathrm{N}=1\, \mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}/\mathrm{s}^2\,} , que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 1\, \mathrm{J}=1\, \mathrm{N}\cdot\mathrm{m}\,} , y que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 1\, \mathrm{W}=1\, \mathrm{J/s}}