No Boletín - Intensidad de una onda sonora (Ex.Nov/12)

Enunciado

La intensidad $I\,$ de una onda sonora armónica propagándose en el seno de un gas puede calcularse mediante la fórmula:

$I={\frac {(p_{\mathrm {max} })^{2}}{2\rho _{o}v}}$

donde $p_{\mathrm {max} }\,$ es la amplitud de presión (dimensiones de presión), $\rho _{o}\,$ es la densidad del gas en el equilibrio (se mide en kg/m$^{3}$ en el SI), y $v\,$ es la velocidad de propagación de la onda.

1. ¿Cuál es la ecuación dimensional de $I\,$?
2. ¿En qué unidad se mide $I\,$ en el SI?

Ecuación dimensional de $I\,$

Tomando dimensiones en la fórmula facilitada, desaparece del denominador el factor numérico "2" por ser adimensional, y se obtiene:

$[I\,]={\frac {[p_{\mathrm {max} }]^{2}}{[\rho _{o}][v]}}$

El enunciado del ejercicio no nos informa de cuáles son las dimensiones de una presión (fuerza partido por superficie) y de una velocidad porque se considera que debemos conocerlas (aparecen en problemas de boletín hechos en clase):

$[p_{\mathrm {max} }]={\frac {[F\,]}{[S\,]}}={\frac {MLT^{-2}}{L^{2}}}=ML^{-1}T^{-2}\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,[v]=LT^{-1}$

Sin embargo, sí se nos dice que la unidad SI de densidad es el kg/m$^{3}$, lo cual nos permite deducir cuáles son las dimensiones de una densidad:

$\mathrm {unidad} \,\,\mathrm {SI} \,\,\mathrm {de} \,\,\rho _{o}=1\,\mathrm {kg/m} ^{3}\,\,\,\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,\,\,\,[\rho _{o}]=ML^{-3}$

Sustituyendo las dimensiones de presión, velocidad y densidad, obtenemos al fin la ecuación dimensional de $\,I\,$:

$[I\,]={\frac {[p_{\mathrm {max} }]^{2}}{[\rho _{o}][v]}}={\frac {(ML^{-1}T^{-2})^{2}}{ML^{-3}LT^{-1}}}=MT^{-3}$

Unidad de $I\,$ en el SI

Una vez hallada la ecuación dimensional de $\,I\,$, su unidad en el SI se deduce fácilmente a partir del correspondiente producto de potencias de las unidades de las magnitudes básicas en el SI:

$[I\,]=MT^{-3}\,\,\,\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,\,\,\,\mathrm {unidad} \,\,\mathrm {SI} \,\,\mathrm {de} \,\,I=1\,\mathrm {kg} \cdot \mathrm {s} ^{-3}$

Pero es más frecuente expresar la unidad SI de la intensidad de una onda de este otro modo equivalente:

$1\,{\frac {\mathrm {kg} }{\mathrm {s} ^{3}}}=1\,{\frac {\mathrm {N} \cdot \mathrm {s} ^{2}}{\mathrm {m} \cdot \mathrm {s} ^{3}}}=1\,{\frac {\mathrm {N} }{\mathrm {m} \cdot \mathrm {s} }}=1\,{\frac {\mathrm {J} }{\mathrm {m} ^{2}\cdot \mathrm {s} }}=1\,{\frac {\mathrm {W} }{\mathrm {m} ^{2}}}\,\,\,\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,\,\,\,\mathrm {expresion} \,\,\mathrm {usual} \,\,\mathrm {de} \,\,\mathrm {la} \,\,\mathrm {unidad} \,\,\mathrm {SI} \,\,\mathrm {de} \,\,I=1\,\mathrm {W/m} ^{2}$

donde se ha tenido en cuenta que $1\,\mathrm {N} =1\,\mathrm {kg} \cdot \mathrm {m} /\mathrm {s} ^{2}\,$, que $1\,\mathrm {J} =1\,\mathrm {N} \cdot \mathrm {m} \,$, y que $1\,\mathrm {W} =1\,\mathrm {J/s}$