No Boletín - Identificación de movimiento a partir de tres velocidades (Ex.Dic/12)

Enunciado

Las posiciones y velocidades instantáneas de tres puntos de un sólido rígido respecto a un sistema de referencia cartesiano $OXYZ\,$ vienen dadas por:

Punto	${\vec {r}}$ (m)	${\vec {v}}$ (m/s)
A	$-{\vec {\imath }}+{\vec {k}}$	$-2\,{\vec {\jmath }}$
B	$2\,{\vec {\imath }}+{\vec {\jmath }}+2\,{\vec {k}}$	$-{\vec {\imath }}+{\vec {k}}$
C	$-2\,{\vec {\jmath }}+{\vec {k}}$	$2\,{\vec {\imath }}-{\vec {\jmath }}-2\,{\vec {k}}$

¿Qué tipo de movimiento instantáneo es?

Solución

Deducimos, en primer lugar, el vector velocidad angular $\,{\vec {\omega }}=\omega _{x}\,{\vec {\imath }}+\omega _{y}\,{\vec {\jmath }}+\omega _{z}\,{\vec {k}}\,\,$ del sólido, componente a componente, exigiendo el cumplimiento de la ecuación del campo de velocidades en la relación entre las velocidades conocidas.

Por ejemplo, la relación entre ${\vec {v}}_{B}\,$ y ${\vec {v}}_{A}\,$ debe satisfacer la ecuación:

${\vec {v}}_{B}={\vec {v}}_{A}+{\vec {\omega }}\times {\overrightarrow {AB}}\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,-{\vec {\imath }}+{\vec {k}}=-2\,{\vec {\jmath }}+\left|{\begin{array}{ccc}{\vec {\imath }}&{\vec {\jmath }}&{\vec {k}}\\\omega _{x}&\omega _{y}&\omega _{z}\\3&1&1\end{array}}\right|$

E igualando componentes homólogas:

$\left.{\begin{array}{rcl}-1&=&0+\omega _{y}-\omega _{z}\\0&=&-2+3\,\omega _{z}-\omega _{x}\\1&=&0+\omega _{x}-3\,\omega _{y}\end{array}}\right\}\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,\omega _{y}=\omega _{z}-1\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\omega _{x}=3\,\omega _{z}-2$

Y relacionando de forma análoga ${\vec {v}}_{C}\,$ y ${\vec {v}}_{A}\,$, podemos culminar la deducción de ${\vec {\omega }}\,$:

${\vec {v}}_{C}={\vec {v}}_{A}+{\vec {\omega }}\times {\overrightarrow {AC}}\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,2\,{\vec {\imath }}-{\vec {\jmath }}-2\,{\vec {k}}=-2\,{\vec {\jmath }}+\left|{\begin{array}{ccc}{\vec {\imath }}&{\vec {\jmath }}&{\vec {k}}\\3\,\omega _{z}-2&\omega _{z}-1&\omega _{z}\\1&-2&0\end{array}}\right|$

E igualando componentes homólogas:

$\left.{\begin{array}{rcl}2&=&0+2\,\omega _{z}\\-1&=&-2+\omega _{z}\\-2&=&0-7\,\omega _{z}+5\end{array}}\right\}\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,\omega _{z}=1\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\omega _{y}=0\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\omega _{x}=1$

Por tanto, el vector velocidad angular es:

${\vec {\omega }}=({\vec {\imath }}+{\vec {k}}\,)\,\,\mathrm {rad/s}$

A continuación, calculamos la velocidad de deslizamiento $v_{d}\,$, que es la proyección de la velocidad de cualquier punto sobre la velocidad angular:

$v_{d}={\frac {{\vec {v}}_{A}\cdot {\vec {\omega }}}{|{\vec {\omega }}|}}={\frac {-2\,{\vec {\jmath }}\cdot ({\vec {\imath }}+{\vec {k}}\,)}{|{\vec {\imath }}+{\vec {k}}\,|}}=0\,\,\mathrm {m/s}$

Conocidos los invariantes primero (${\vec {\omega }}\,$) y segundo ($v_{d}\,$), procedemos a clasificar el movimiento instantáneo del sólido rígido:

$\left.{\begin{array}{l}{\vec {\omega }}\neq {\vec {0}}\\v_{d}=0\end{array}}\right\}\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,\mathrm {ROTACION}$